Доказательство. По определению оператор имеет n попарно различных собственных значений

Пусть — собственные векторы, принадлежащие соответственно По теореме 1 векторы линейно независимы, а так как то — базис V(P). Составим матрицу в этом базисе:

— это диагональная матрица (в ней выше и ниже главной диагонали стоят нули). Элементы ее главной диагонали являются собственными значениями оператора . Что требовалось доказать.

В некоторых случаях оператор может и не быть оператором с простым спектром, но, тем не менее, в пространстве V(P) найдется базис из собственных векторов оператора и матрица оператора в этом базисе будет диагональной.

Будем пользоваться следующей теоремой: