Задача С3

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. С3.0-С3.9, табл. С3). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах Н, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и должны быть изображены по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан первым, приложена сила Р = 200 Н; во втором узле приложена сила Q = 100 Н. Сила образует с положительными направлениями координатных осей х, у, z углы, равные соответственно a₁ = 45°, b₁ = 60°, g₁ = 60°, а сила - углы a₂ = 60°, b₂ = 45°, g₂ = 60°; направления осей х, у, z для всех рисунков показаны на рис. С3.0.

Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху, - квадраты. Диагонали других боковых граней образуют с плоскостью ху угол j = 60°, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол q = 51°. Определить усилия в стержнях.

На рис. С3.10 в качестве примера показано, как должен выглядеть чертеж С3.1, если по условиям задачи узлы находятся в точках L и М, а стержнями являются LМ, LA, LB; МA, MC, MD. Там же показаны углы j и q.

Указания. Задача С3 - на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно равновесие каждого из двух узлов, где сходятся стержни и приложены заданные силы, и учесть закон о равенстве действия и противодействия; начинать с узла, где сходятся три стержня.

Изображать чертеж можно без соблюдения масштаба так, чтобы лучше были видны все шесть стержней. Стержни следует пронумеровать в том порядке, в каком они указаны в таблице; реакции стержней обозначать буквой с индексом, соответствующим номеру стержня (например, , и т. д.).

Таблица С3

Пример С3. Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2,..., 6, соединенных друг с другом (в узлах K и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. С3). В узлах K и М приложены силы и , образующие с координатными осями углы a₁, b₁, g₁ и a₂, b₂, g₂ соответственно (на рисунке показаны только углы a₁, b₁, g₁).

Дано: Р = 100 Н, a₁ = 60°, b₁ = 60°, g₁ = 45°; Q = 50 H, a₂ = 45°, b₂ = 60°, g₂ = 60°, y = 30°, j = 60°, d = 74°. Определить усилия в стержнях 1-6.

Рис. С3.0 Рис. С3.1 Рис. С3.2

Рис. С3.3 Рис. С3.4 Рис. С3.5

Рис. С3.6 Рис. С3.7 Рис. С3.8

Рис. С3.9 Рис. С3.10

Рис. С3

Решение. 1. Рассмотрим равновесие узла K, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила и реакции , , стержней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растянутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:

(13)

(14)

(15)

Из уравнения (15) находим:

Из уравнения (13):

Из уравнения (14):

N₁ = P×cos b₁ - N₂×cos y.

N₁ = 100×cos 60° - (-345)×cos 30° = 348,78 Н.

2. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют сила и реакции , , , стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция направлена противоположно , численно же = N₂. Составим уравнения равновесия:

(16)

(17)

(18)

При определении проекций силы на оси х и у в уравнениях (16) и (17) удобнее сначала найти проекцию этой силы на плоскость х О у (по числовой величине ), а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на оси х, у.

Решая уравнение (17), находим:

Из уравнения (16):

Из уравнения (18):

Ответ: N₁ = 348,78 H, N₂ = - 345 H, N₃ = 141 H, N₄ = 49,79 H, N₅ = 328,86 H, N₆ = 65,48 H. Знаки показывают, что стержень 2 сжат, остальные растянуты.

Вопросы для самоконтроля

1. Как определить проекцию силы на ось?

2. Как определить равнодействующую системы сходящихся сил:

а) геометрическим способом,

б) аналитическим способом?

3. Сформулируйте условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости и в пространстве.

4. Если связью является невесомый стержень, то как направлена сила его реакции в случае, когда он:

а) прямолинейный,

б) криволинейный?

Поиск по сайту: