Задача С5

Схемы конструкций изображены на рис. С5.1–С5.4. Исходные данные приведены в табл. С5. Во всех вариантах сила наклонена к оси x под углом a, который изменяется от 0 до 2p. Требуется определить реакции связей в функции угла a. Кроме того, необходимо найти значения угла a, при которых вес исследуемой опоры и потенциальная энергия деформации всех опор оказываются минимальными.

Методика решения задачи с элементами оптимизации

Решить поставленную задачу – значит найти лучший вариант проектируемого объекта, например, конструкции машины или сооружения, технологического процесса и др. В данном случае решение задачи оптимизации сводится к определению значений угла a, при которых рассматриваемая конструкция оказывается лучшей по одному из двух критериев: или одна из исследуемых опор должна иметь минимальный вес, или все опоры должны деформироваться с минимальной потенциальной энергией. Последнее эквивалентно, например, минимальному нагреву опоры, обусловленному ее деформацией.

Критерий минимального веса опоры

Для упрощения задачи представим все опоры в виде стержней заданной длины, расположенных вдоль составляющих сил реакций. Таким образом каждый стержень будет нагружен некоторой продольной силой , модуль которой равен модулю соответствующей силы реакции рассматриваемой опоры. Если реакцией опоры является пара сил, то паре соответствуют два стержня – по одному для каждой силы.

Модуль силы можно представить в виде

, (25)

где S – площадь поперечного сечения стержня, s – сила, приходящаяся на единицу этой площади.

Умножим и разделим правую часть равенства (25) на длину l стержня и удельный вес g материала, из которого он изготовлен. Получим

, (26)

где G – вес стержня, l^* = l ×g/s.

Рис. С5.1

Рис. С5.2

Рис. С5.3

Рис. С5.4

Таблица С5

Как видно, при заданном коэффициенте l^* оптимизацию по весу стержня можно заменить оптимизацией по силе . В дальнейшем входящие в коэффициент l^* величины l, g, s считаются известными. Для расчета их значения не понадобятся.

В тех вариантах задачи, где опора A представляет собой жесткую заделку, роль силы играет равнодействующая, которая равна главному вектору плоской системы сил реакций заделки, линия действия которой находится на некотором расстоянии h от точки A (h = M_A/R_A). В тех вариантах, где в точке A расположена шарнирно-неподвижная опора,

.

В данной задаче в результате решения соответствующей системы уравнений равновесия находят R_A как функцию одного аргумента a. Оптимальное значение реакции найдется из исследования функции R_A на глобальный экстремум, в данном случае глобальный минимум (глобальным минимумом функции называется наименьшее ее значение в изучаемом интервале изменения аргумента).

Численные значения реакций всех опор зависят от sin a и cos a, которые имеют период 2p. Это позволяет ограничиться поиском глобального минимума R_A в интервале изменения аргумента a:

Значения R_A вычисляются с интервалом Da = p/12 в соответствии с формулой , где k = 1, 2,..., 24 и . По вычисленным значениям реакции R_A строится график зависимости R_A = R_A (a), из которого находят значение a, соответствующее глобальному минимуму R_A.

Критерий минимальной потенциальной энергии деформации

По-прежнему опоры представляем стержнями, работающими по направлениям составляющих реакций.

Из курса физики известно, что потенциальная энергия П _i деформации i -го стержня, нагруженного продольной силой N _i, равна

, (27)

где – удлинение (деформация) i -го стержня, вызванное силой N _i.

Деформация определяется согласно закону Гука:

. (28)

Здесь – длина i -го стержня; – площадь его поперечного сечения; – модуль упругости материала, из которого этот стержень изготовлен.

Подставив (28) в (27), найдем потенциальную энергию стержня в виде

, (29)

где коэффициент .

В дальнейшем величина считается известной и постоянной для всех стержней (). Суммарная потенциальная энергия стержней (опор) найдется сложением (29):

. (30)

Как видно, при известном коэффициенте оптимизацию конструкции по потенциальной энергии деформации опор можно заменить оптимизацией по параметру, равному сумме квадратов модулей составляющих сил реакций всех опор. Соответствующая целевая функция будет

, (31)

где X _i – модуль i -й составляющей реакции соответствующей опоры.

Следует отметить, что в числе модулей реакций могут быть как силы, так и моменты пар сил. Для приведения тех и других к одной размерности значения X _i, соответствующие моментам, необходимо разделить на характерный габаритный размер h конструкции. Во всех вариантах задания величину h принять равной 1м.

С помощью найденных выше значений X _i определяется целевая функция с шагом Da = p/12. По вычисленной целевой функции строится график f (a) в интервале . Глобальный минимум этого графика соответствует оптимальному значению угла a.

Поиск по сайту: