Задача С4

Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1 (рис. С4.0-С4.7) или же двумя подшипниками в точках А и В и двумя невесомыми стержнями 1 и 2 (рис. С4.8, С4.9); все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами.

Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты P₁ = 5 кН, вес меньшей плиты P₂ = 3 кН. Каждая из плит расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость ху - горизонтальная).

На плиты действуют пара сил с моментом М = 4 кН×м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С4; при этом силы и лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила - в плоскости, параллельной хz, и сила - в плоскости, параллельной уz. Точки приложения сил (D, E, Н, K) находятся в углах или в серединах сторон плит.

Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня (стержней). При подсчетах принять а = 0,6 м.

Указания. Задача С4 - на равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляющие (по всем трем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) - две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (подшипника). При вычислении момента силы часто удобно разложить ее на две составляющие ( и ), параллельные координатным осям (или на три); тогда по теореме Вариньона и т. д.

Рис. С4.0 Рис. С4.1

Рис. С4.2 Рис. С4.3

Рис. С4.4 Рис. С4.5

Рис. С4.6 Рис. С4.7

Рис. С4.8 Рис. С4.9

Пример С4. Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис. С4) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD¢. На плиту в плоскости, параллельной хz, действует сила , а в плоскости, параллельной уz, - пара сил с моментом М.

Дано: Р = 3 кН, F = 8 кН, М = 4 кН×м, a = 60°, АС = 0,8 м, АВ = 1,2 м, ВЕ = 0,4 м, ЕН = 0,4 м. Определить реакции опор А, В и стержня DD'.

Рис. С4

Решение. 1. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют заданные силы , и пара с моментом , а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие: , , , цилиндрического (подшипника) – на две составляющие: , , (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника); реакцию стержня направляем вдоль стержня от D к D¢, предполагая, что он растянут.

2. Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Таблица С4

Номер условия	Сила
F1 = 6 кН	F2 = 8 кН	F3 = 10 кН	F4 = 12 кН
Точка приложения	a1, град	Точка приложения	a2, град	Точка приложения	a3, град	Точка приложения	a4, град
	E		H		-	-	-	-
	-	-	D		E		-	-
	-	-	-	-	K		E
	K		-	-	D		-	-
	-	-	E		-	-	D
	H		K		-	-	-	-
	-	-	H		D		-	-
	-	-	-	-	H		K
	D		-	-	K		-	-
	-	-	D		-	-	H

Для определения моментов силы относительно осей разлагаем ее на составляющие и , параллельные осям x и z (, ), и применяем теорему Вариньона. Аналогично поступаем с реакцией (; ).

Из уравнения (23) находим:

Из уравнения (24):

Из уравнения (22):

Из уравнения (19):

Из уравнения (20):

Из уравнения (21):

Ответ: R_{A x} = 3,422 кН, R_{A у} = 5,133 кН, R_{A z} = 4,834 кН, R_{В x} = - 7,422 кН, R_{В z} = 2,13 кН, N = 5,928 кН.

Знак «минус» указывает, что реакция направлена противоположно показанной на рис. С4.

Вопросы для самоконтроля

1. Как определить момент силы относительно оси?

2. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

3. Как представить вектор-момент пары сил, расположенной в пространстве?

4. Как складываются пары сил в пространстве?

5. Как вычислить главный вектор и главный момент пространственной произвольной системы сил?

6. Каковы условия и уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил?

Поиск по сайту: