Сочетания. 10. Доказать тождества непосредственно из определения числа

10. Доказать тождества непосредственно из определения числа

(1) ,

(2) ,

(3) .

11. Из содержащей 52 карты колоды вынимают 10 карт. Какова вероятность, что среди них окажется

(1) хотя бы один туз? Ответ:

(2) ровно один туз? Ответ:

(3) не менее двух тузов? Ответ:

(4) ровно два туза? Ответ:

12. Из содержащей 52 карты колоды вынимают 10 карт. Какова вероятность, что среди них окажется

(1) 4 туза, 2 короля, 3 дамы;

(2) 2 туза, 2 короля, 2 дамы;

(3) 1 туз, 1 королm, 2 дамы, 3 десятки;

(4) 4 туза, 4 короля, 2 дамы;

(5) 2 туза, 3 короля, 1 дама, 1 десятка;

(6) 3 туза, 2 короля, 4 дамы;

13. Разложением числа m называется конечная последовательность (x₁, x₂, ×××, x_n) неотрицательных целых чисел, таких что x₁+ x₂+ ××× + x_n = m. Сколько разложений числа 19 состоит лишь из чисел 2 и 3?

Указание. Если в разложении p двоек и q троек, то 2p + 3q = 19. Отсюда получаем следующие варианты разложения, приведенные в таблице 2.4.

Таблица 2.4

Варианты разложения

p=2	q=5	число разложений
p=5	q=3	число разложений
p=8	q=1	число разложений

Ответ: .

14. Сколько разложений числа 12 состоит из чисел 2 и 3?

Ответ: = 12.

15. Сколькими способами можно разложить число 1024 в произведение трех натуральных чисел, каждое из которых больше 1?

Указание. Это число решений уравнения x₁+ x₂,+ x₃ = 10, где x_i >0.

Ответ: = 36.

16. Сколько существует на плоскости непрерывных путей из точки (0,0) в точку (n,n)Î N ´ N, состоящих из направленных отрезков, вектора которых равны (1,0) или (0,1)?

17. Найти число непрерывных путей в декартовой плоскости, соединяющих точку (0,0) с точкой (m,n)Î N ´ N, проходящих через точку (p,q) и состоящих из направленных отрезков, вектора которых равны (1,0) или (0,1)?

18. Найти число решений уравнения x₁+ x₂+ x₃+ x₄ + x₅ = 20, где x_i > 0.

19. Найти число решений уравнения x₁+ x₂+ x₃+ x₄ + x₅ = 15, где x_i ³ 0.

20. Найти число возрастающих функций {1,2,3,4,5}®{1,2,3,4,5,6,7}.

21. Найти число неубывающих сюръекций {1,2,3,4,5,6,7}®{1,2,3,4,5}.

22. Найти число неубывающих функций {1,2,3,4,5}®{1,2,3,4,5}.

23. Найти количество десятичных неотрицательных целых чисел, состоящих из не более чем n цифр, расположенных в неубывающем порядке (цифра 0 не допускается первой для ненулевых чисел). Например, при n =2, такие числа будут равны

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, ∙ ∙ ∙, 89, 99.

Ответ: = 36.

24. Найти количество десятичных неотрицательных целых чисел, состоящих цифр, расположенных в возрастающем порядке.

Ответ:

25. Найти число неотрицательных целых чисел, десятичная запись которых состоит из n разрядов и содержит все цифры, расположенные в невозрастающем порядке.

Ответ: .

26. Какое количество m´n –матриц можно составить из неотрицательных целых чисел a_ij ³ 0, таких что S a_ij = k.

Ответ: .

Поиск по сайту: