Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи

Первая задача принадлежит Мебиусу. Речь идет о короле, завещавшем своим пяти сыновьям разделить между собой его владения так, чтобы каждая из частей имела общие границы с каждой из остальных частей.

Рассматривая граф, вершины которого соответствуют пяти частям, а ребра – общим границам, приходим к вопросу, является ли он плоским?

Вторая задача – задача о трех домах и трех колодцах. На поверхности сферы заданы 3 точки, называющиеся домами, и 3 точки, называющиеся колодцами. Нужно соединить не пересекающимися кривыми (играющими роль тропинок) каждый дом со всеми колодцами.

Докажем неразрешимость этих двух задач.

Лемма 1. Для связного плоского графа с p>3 вершинами и q ребрами справедливо неравенство q £ 3p-6. Если существует вложение в сферу, при котором каждая грань имеет не менее 4 ребер, то справедливо неравенство q £ 2p – 4.

Доказательство. Рассмотрим множество пар (ребро, грань), где ребро содержится в грани. Число таких пар равно 2q, ибо каждое ребро принадлежит двум граням. С другой стороны, оно не меньше 3r, ибо грань содержит не меньше трех ребер. Отсюда

2q ≥ 3r. Если грань содержит не меньше четырех ребер, то получаем 2q ≥ 4r. Подставляя в эти неравенства r = 2 – p +q, получим доказываемые неравенства.

Следствие 1. Граф K₅ не плоский.

Доказательство. Граф K₅, приведенный слева на рисунке 4.9, имеет 5 вершин и 10 ребер. Неравенство 10 £ 3∙5 – 6 неверно, значит он не плоский.

Рис. 4.9. Графы K₅ и K_3,3

Следствие 2. Граф K_3,3 не плоский.

Доказательство. В графе K_3,3, приведенном справа на рисунке 4.9, нет циклов длины 3. Отсюда в случае существования вложения в сферу каждая грань будет иметь не менее 4 ребер. По лемме, в этом случае имеет место неравенство q£ 2p –4. Так как неравенство 9 £ 2∙6 – 4 неверно, то граф K_3,3 не плоский.

Следовательно, обе задачи неразрешимы.

Следующая теорема Куратовского характеризует плоские графы.

Теорема 3. Граф плоский тогда и только тогда, когда он не содержит ни графа гомеоморфного K₅, ни графа гомемоморфного K_{3, 3} .

Раскраска плоского графа. Следующий вопрос – о раскраске плоских графов. В 1878 году эта проблема была поставлена Кэли на заседании Лондонского математического общества. Задана карта, состоящая из областей на сфере, которые можно интерпретировать как страны, расположенные на земной поверхности. Можно ли произвольную такую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две имеющие общую границу страны были окрашены в различный цвет?

Положительное решение этой проблемы было опубликовано в 1977 году Аппелем и Хакеном.

Мы докажем, что пять цветов достаточно для раскраски любой карты. Метод доказактельства был предложен А.В. Кэмпе, и долгое время считалось, что этот метод годится и для четырех красок. Но это мнение было опровергнуто в 1890 году Хивудом.

Задача сводится к правильной раскраске вершин плоского графа, вершины которого соответствуют странам, а соединение вершин ребром осуществляется при наличии общей границы у стран.

Лемма 2. Пусть (V,E) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина vÎV такая, что d(v)£ 5. Здесь d(v) – степень вершины v.

Доказательство. Иначе 2q = S d(v) ³ 6p, и q³3p, а мы доказали раньше, что q £ 3p – 6.

Поиск по сайту: