 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя
Пример 4. Применим доказанную теорему к решению рекуррентного уравнения un+2 = 5 un+1 - 6 un, при начальных условиях u0 = u1 = 1. Здесь K(x)=1 - 5x + 6x2. Вычислим
D(x) = K(x)u(x) = (1-5x+6x2)(u0 + u1x + ∙ ∙ ∙) = (u0 -5u0 x + u1x +…).
По теореме 1 коэффициенты при x2 , x3… равнынулю, а u0 = u1 = 1. Следовательно
D(x) = (1 -5 x + x) = 1-4x.
Получаем 
. Следующий шаг – разложение знаменателя K(x) в произведение (1 - a1x) (1- a2x). В данном случае это можно сделать с помощью формулы Виеты. Поскольку имеют место равенства
a1 + a2 = 5, a1 a2 = 6,
то числа a1 и a2 будут корнями квадратного уравнения a2 - 5a +6 =0. Решая это квадратное уравнение, получаем 
. Приходим к формуле
.
Теперь найдем разложение в сумму простых дробей методом неопределенных коэффициентов 
. Получим систему линейных уравнений 
имеющую решение A= 2, B= -1. Отсюда 
. Это приводит к ответу un = 2n+1-3n .
В общем случае числа aI в разложении K(x) = (1 - a1x) (1- a2x) ∙ ∙ ∙ (1 - arx) являются корнями уравнения
F(a)=a r- c1a r -1 - ∙ ∙ ∙ - cr-1a - cr =0,
ибо K(x)= 
. Это уравнение F(a)=0 называется характеристическим.
Если все корни уравнения F(a)=0 действительны и различны, то получаем
,
откуда 
.
Это позволяет составить систему линейных уравнений для нахождения Ai с помощью известных значений u0 , u1 , ∙∙∙, ur-1 .
Пример 5. Рассмотрим рекуррентное уравнение 
при заданных u 0=2, u 1=1. Составим характеристическое уравнение F(a)=a 2+ a - 2 = 0. Его корни
a 1 =2, a 2 = - 1 не равны между собой и являются вещественными числами. Поэтому решение рекуррентного уравнения можно искать в виде
.
Значения un известны при n = 0, 1, откуда получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов A 1 , A 2 :
Решаем эту систему уравнений
получаем A 1= A 2=1. Приходим к следующему ответу 
.
Если существуют кратные корни, то, пользуясь формулами для производных от геометрической прогрессии, можно доказать, что решение будет дополняться слагаемыми 
, где k – кратность корня 
.
Пример 6. Решим рекуррентное уравнение
, u 0=1, u 1=6.
С этой целью составим характеристическое уравнение a 2- 6 a +9=0. Оно имеет кратные корни a 1 = a 2 =3. Поэтому решение рекуррентного уравнения нужно искать в виде
un = A 13 n + A 2 n 3 n
Подставляя известные значения u 0= 1 и u 1= 6, приходим к системе уравнений
Она имеет решение A 1= A 2=1. Получаем ответ: un = 3n(1+n).
Поиск по сайту: