Характеристики центру розподілу. Середні величини

До характеристик центру відносяться середня, мода та медіана.

Середняв статистиці — абстрактна, узагаль­нююча величина, що характеризує рівень варіюючої ознаки в якісно однорідній сукупності. Коливання індивідуальних значень ознаки, викликані дією різних факторів, урівноважуються в середній величині.

Середні, що застосовують у статистиці, належать до класу степеневих, які в узагальненій формі мають ви­гляд:

де х — індивідуальні значення варіюючої ознаки (варіанти);

Z — показник степеня середньої;

п — число варіант.

Конкретний вид середньої залежить від степеня [2] Основні види степеневих середніх наведені в табл. З.1.

Таблиця 3.1

Формули степеневих середніх

Степінь (Z)	Назва середньої	Формула розрахунку
проста	зважена
	Середня арифметична
-1	Середня гармонійна
	Середня геометрична
	Середня квадратична

При вивченні закономірностей розподілу застосо­вують середню арифметичну, варіації - середню квад ратичну, інтенсивності розвитку середню геомет ричну. Різні види середніх, обчислені для одних і тих же даних, мають різну величину. Співвідношення між ними має такий вигляд і називається правилом маже рантності:

У соціально-економічній статистиці обчисленню різних середніх для однієї і тієї ж сукупності недо цільне, тому постає питання вибору виду середньої ] кожному конкретному випадку дослідження.

Розглянемо умови та приклади обчислення се­редніх.

Середня арифметична - одна з найбільш поширених, застосовується у тих випадках, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності є сумою індивідуальних значень її окремих елементів. Для не-згрупованих даних обчислюють середню арифметичну просту, для згрупованих — зважену. Наприклад, коли маємо список робітників будівельної бригади, який містить дані про індивідуальні заробітки за місяць, то, мабуть, легше не підраховувати кількість робітників, котрі заробили однакові суми грошей за даний період, а просто підсумувати всі заробітки, а потім поділити на чисельність бригади:

де х_і - індивідуальні заробітки, п - загальна кількість робітників. Коли ж, наприклад, обчислюється се­редній заробіток співробітників кафедри, де профе­сори, доценти, лаборанти мають фіксовані оклади, то зручніше перед підсумуванням перемножити кількість професорів на величину їхнього окладу і т. д.:

Де f - чисельність співробітників відповідної посади. В даному випадку частота виступає у ролі ваги,тому і середня зветься зваженою. В обох випадках результат буде однаковим.

Якщо в ролі ваги застосовують частки (w), тоді формула буде мати вигляд:

коли w подані у відсотках та

коли w подані в коефіцієнтах.

Якщо середня обчислюється для інтервального ряду розподілу, то варіантами виступають середини ін­тервалів, які знаходять як півсуму двох меж. Ширину відкритого інтервалу умовно приймають такою, як сусідньому закритому інтервалі.

Обчислення середньої із відносних величні^f (середній процент, середня питома вага) має особли вість. В ролі ваги тут виступають знаменники тих співвідношень, за допомогою яких були обчислені індивідуальні відносні показники.

Приклад 3.1

На підставі наведених даних обчислити середнії процент виконання плану двома бригадами (табл. 3.2)

Можна було б припустити, що обидві бригади в се редньому виконали план на 103%. Але середній по казник виконання плану буде тяжіти в бік цеху, якш; має більшу частину продукції в загальному плановом^ обсязі, тобто до цеху №1.

Таблиця 3.2

Виконання бригадами цеху плану випуску продукції

Дійсно,

Властивості середньої арифметичної:

1) Алгебраїчна сума відхилень всіх варіант від се­редньої дорівнює нулю:

2) Якщо кожну варіанту збільшити або зменшити на будь-яку постійну величину, то і середня зміниться на ту ж величину:

3) Якщо кожну варіанту розділити чи помножити на будь-яке число, то і середня зменшиться або збільшиться в стільки ж разів:

4) Якщо частоти всіх варіант збільшити або змен­шити в одне й те ж саме число разів, то середня при цьому не зміниться:

5) Сума квадратів відхилень варіант від середньої менша за будь-яку іншу величину:

Виходячи з формули обчислення середньої, можна ворити про те, що на середню впливає коливання структури сукупності. Пояснимо на такому прикладі.

Приклад 3.2

Маємо дані про заробітну плату та кількість співробітників кафедри у розрізі (професори, лаборанти) за два періоди (табл. 3.3).

Розрахуємо середню заробітну плату за вересень, Істуючись формулою середньої арифметичної зва­женої

Тоді

За жовтень вона буде дорівнювати:

Таблиця 3.3

Оплата праці співробітників кафедри за два періоди

Тобто, при однакових умовах оплати праці та чисельності співробітників кафедри середня зменшилась завдяки зміні структури її професійного складу.

Середня гармонійна — застосовується в ти випадках, коли нам відомі не самі варіанти, а їхні обернені числа.

Приклад 3.3

Наприклад, ми маємо дані про витрати часу в го динах на виготовлення однієї деталі кожним з трьо: робітників: 1/2, 1/3 і 1/7. Треба обчислити середи витрати часу на одну деталь. Тоді

Розглянемо на прикладі застосування формули середньої гармонійної зваженої.

Приклад 3.4

Таблиця 3.4

Середній виробіток на одного робітника та обсяг продукції для двох видів бригад за квітень

Для розв`язання цього завдання необхщно вихо­дити з економічного змісту усереднюваного показ­ника. Тобто, середній виробіток одного робітника (W) буде дорівнювати:

В умові відсутні дані про чисельність робітників (Т), тобто ми не знаємо частоти (f), але її можна роз­рахувати за формулою для кожної з бригад.

Тоді в нашому прикладі треба використовувати фор­мулу середньої гармонійної зваженої, де - середній виробіток одного робітника для кожного виду бригад, z - фактичний обсяг виробленої продукції.

Середній виробіток одного робітника для всіх бригад становив у квітні 5,4 тис. грн.

У літературі можна зустріти рекомендації для визначення середніх для ознак порядкової і номінальної шкал. Автори вважають, що, коли ранги порядко­вої шкали відображають приблизно однакові відстані між окремими якостями явищ, середній ранг можна обчислювати так само, як і при вимірюванні ознак метричної шкали. Як приклад вони наводять середній рівень кваліфікації (розряд), середній атестаційний бал та ін. Ми з свого боку вважаємо, що «однаковість відстані» в наведених прикладах досить сумнівна. Далі відзначається, що в деяких випадках ранги можуть бу­ти числами додатними і від'ємними. Так, значення за­доволеності робітників своєю професією, «задоволе­ний», «байдужий», «незадоволений», пропонується по­значити балами, відповідно, 1, 0, — 1, а потім визначи­ти середню арифметичну для всієї бригади.

Ми вважаємо, що результати таких процедур мо­жуть бути досить умовними, а тому радимо бути з ни­ми обережними.

До характеристик центру розподілу, крім середньої арифметичної, належить мода та медіана, котрих ще називають порядковими середніми і розглядають ра­зом із такими характеристиками, як квантилі і.децилі.,

Мода (Мо) — значення варіанти, яке найчастіше повторюється в ряді розподілу. У дискретному ряді моду легко відшукати візуально, у інтервальному ряді легко відшукати модальний інтервал, а приблизне значення моди обчислюється за формулою

де х_Мо - нижня межа модального інтервалу; і_Мо — роз­мір модального інтервалу; f_Mo — частота модального інтервалу; f_{Mo-1 -} частота попереднього інтервалу; f_{Mo+1 -} частота інтервалу, наступного за модальним.

Медіана (Me) - варіанта, що ділить ранжиро­ваний ряд на дві, рівні за чисельністю, частини. Так, якщо в ряді розподілу робітників за віком Me = 34, то це означає, що половина з них менші цього віку, половина – старші цього віку. Коли ряд містить парне число членів, медіана дорівнює середній із двох зна­чень розташованих всередині ряду. Для знаходження медіани в дискретному ряді спочатку обчислюють півсуму частот, а потім визначають, яка варіанта при­падає на неї. Для інтервального ряду медіану обчис­люють за формулою

де х_Ме нижня межа медіанного інтервалу; і_Ме - розмір медіанного інтервалу; - півсума час­тот медіанного інтервалу; S_Ме-1 - сума накопичених частот перед медіанним інтервалом; f_Me - частота ме­діанного інтервалу.

Приклад 3.5

Таблиця 3.5

Розподіл сімей за кількістю осіб у сім'ї у м. Києві у 1995 р. (за даними соціологічного обстеження)

У цьому ряду розподілу Мо = 3 і Me = 3, тому що більше половини одиниць сукупності перебуває у пер­ших трьох групах.

Приклад 3.6

Таблиця 3.6.

Вікова структура населення м. Києва у 1995р. — (за даними соціологічного обстеження)

У цьому прикладі модальний інтервал Мо розташо­ваний у групі (36—45), тоді

Медіанний інтервал Me розташований у групі (36— 45), тоді за формулою

року

Кожну з двох частин, на які медіана поділяє су­купність за обсягом, в свою чергу також можна по­ділити за домогою квартилей Q.

Перший квартиль Q,, таким чином, відокремлює чверть сукупності, другий Q₂, тобто сама медіана, -половину, третій Q₃ — три чверті. Також обчислюють децилі та процентилі. Так, q— а процентиль - це число, менше якого приймають значення q% су­купності. Таким чином, 25-а процентиль є перша квартиль, а 10-а процентиль — перша дециль. Іноді Q₁ та Q₃ відповідно, називають нижнім та верхнім квартилями.

Міру розсіяння варіант можна характеризувати ве­личиною (Me – Q₁) або (Q₃- Me), ще краще - їх се­реднім значенням - середнім квартальним відхилен­ням, що обчислюється за формулою Q = (Q₁-Q₃)/2-

Зазначимо, що в інтервалі (Me + Q) лежить поло­вина всіх варіант. Мода та медіана не залежать від усіх варіант сукупності і тому не замінюють середню, як узагальнюючу величину, а лише доповнюють її. В ок­ремих випадках вони мають навіть деяку перевагу пе­ред середньою арифметичною. Значення усіх трьох характеристик співпадають лише у випадку симетрії ряду розподілу (рис. 3.3, 3.4, 3.5).

Рис. 3.5. Правостороння асиметрія: х > Me > Mo.

Характеристики центру, узагальнюючи індивіду­альне, характеризують загальне, проте не відобра­жають ступінь та закономірності відхилення інди­відуального від загального, тобто ступінь варіації і форму розподілу.

Поиск по сайту: