Числовые характеристики случайных величин

Для полной характеристики распределения случайной величины Х необходимо знать, как мы видели, ее функцию распределения или, в случае непрерывной Х, ее плотность вероятности. Однако в ряде практических задач нет необходимости в таком полном исследовании случайной величины Х, и бывает достаточно иметь хотя бы грубое представление о распределении Х, описать его посредством немногих простых параметров. В ряде случаев достаточно знать:

• примерное расположение того интервала значений, в котором находится основная масса вероятности случайной величины Х, а также положение «центра группирования» на числовой оси;

• насколько широко разбросаны значения случайной величины Х по каждую сторону от «центра группирования».

Параметры первого рода, характеризующие положение центра группирования, называются характеристиками расположения (или положения); параметры второго рода, характеризующие разброс значений случайной величины около центра группирования, называются характеристиками рассеивания.

Наиболее часто употребляемой характеристикой расположения является так называемое математическое ожидание случайной величины Х, которое будем обозначать символом М (Х). Рассмотрим сначала математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной таблицей распределения (см. табл. 7.1). Математическое ожидание такой величины есть по определению сумма произведений всех ее возможных частных значений на соответствующие им вероятности:

Если возможные значения дискретной случайной величины Х составляют счетное множество и она задана рядом распределения

то по определению математическое ожидание Х равно сумме ряда:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятности f (x) определяется равенством

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины, принимающей значения 1 и 0, с вероятностью р и q = 1 - p соответственно.

Решение. По определению математического ожидания имеем

Перейдем к перечислению основных свойств математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т. е. если С - константа, то М (С) = С.

Свойство 2. Математическое ожидание суммы произвольных случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Следствие. Математическое ожидание суммы конечного числа произвольных случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т. е.

Пример 2. Найти математическое ожидание числа X наступлений события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p или не появляется с вероятностью q = 1 - p. Другими словами, X имеет биномиальное распределение с параметрами n и p (см. п. 7.2.1).

Решение. Очевидно, что X может быть представлено в виде суммы:

где есть случайная величина, равная единице, если событие А произошло в k-м испытании, и нулю, если событие А не произошло. Таким образом,

На основании последнего свойства математического ожидания имеем:

3. Дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата математического

ожидания, т. е.

4. Если С - константа, то

5. Дисперсия суммы или разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Последнее свойство остается справедливым для любого конечного числа попарно независимых случайных величин т. е.

Пример 3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая имеет биномиальное распределение с параметрами n и p (см. пример 2).

Решение. Как показано в примере 2, справедливо равенство

где все

попарно независимы и имеют закон распределения, представленный в табл. 7.5.

Таблица 7.5

На основании свойства 5 дисперсии имеем равенство

На основании свойства 3 имеем равенство Ранее было найдено, что Очевидно, что , следовательно, Оконча-

тельно получаем: , т. е. дисперсия случайной величины X,

имеющей биномиальное распределение с параметрами n и p, равна

В некотором отношении более удобна не дисперсия, а другая мера рассеивания случайной величины Х, которая чаще всего и используется, - это корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком. Эта мера называется средним квадратичным отклонением или стандартным отклонением случайной величины.

Стандартное отклонение обычно обозначается символом о_х или о(Х):

Удобство стандартного отклонения состоит в том, что оно имеет размерность самой случайной величины Х, в то время как размерность дисперсии - квадрат разномерности Х.

В заключение отметим, что дисперсия среднего арифметического из п независимых одинаково распределенных случайных величин Х₁, равна дисперсии какой-либо из этих величин, деленной на их число:

и, в частности,

Именно так обстоит дело, когда мы производим п измерений какойлибо физической величины. Важно то, что результат каждого измерения не зависит от результатов отдельных измерений; тогда последовательные измерения можно рассматривать как значения независимых и одинаково распределенных случайных величин. Средняя квадратичная ошибка одного измерения (стандартное отклонение Х) будет при этом о (Х), а средняя квадратичная ошибка среднего арифметического Х из п измерений будет в раз меньше средней квадратичной ошибки одного измерения. Следует заметить, что если в опыте наш прибор давал систематическую ошибку, то никакими повторениями опыта от нее не избавиться.

Замечание. Совместный закон распределения и числовые характеристики двух случайных величин обсуждаются в п. 7.2.5.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе.

1.Что такое дизъюнкция?

2.Что такое конъюнкция?

3. Дать понятия комбинаторики.

4.В чем заключается понятия дисперсии?

Поиск по сайту: