Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А

Московский государственный университет культуры и искусств

Кафедра прикладной информатики

В.С. Колосов

Математика

Учебное пособие

Москва 2011

ББК 22.1

К 61

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом МГУКИ

Рецензенты

Макаров В.Л. академик РАН д-р физ.-мат. наук,

Белоцерковский А.С. канд. техн. наук.

Колосов В.С. Математика: Учебное пособие. – М.:

МГУКИ, 2011. – 120 с.

© Московский государственный университет

культуры и искусств, 2011 © Колосов В.С.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 6

ЧАСТЬ 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ 10

1. Матрицы 11

1.1. Понятие матрицы 11

1.2. Арифметические операции над матрицами 12

1.3. Пример применения матриц в прогнозировании 16

2. Системы линейных уравнений. 17

2.1. Основные определения 17

2.2. Метод Гаусса 19

2.3. Пример моделирования экономических объектов 23

2.4. Содержательно важные аспекты анализа решений СЛУ 28

3. Векторная алгебра 30

3.1. Векторы и операции над ними 30

3.2. Векторы в системе координат 34

4. Аналитическая геометрия на плоскости 38

4.I. Способы задания линий на плоскости 38

4.2. Прямая линия на плоскости 40

4.3. Задачи о прямых 45

4.4. Взаимное расположение прямых. Геометрическая

интерпретация решения системы линейных уравнений 47

5. Методы условной оптимизации 49

5.1. Краткая история и суть вопроса 49

5.2. Постановка задачи линейного программирования 51

5.3. Дробно-линейное программирование 53

5.4. Транспортная задача 54

5.5. Математическое программирование 56

5.6. Геометрические аспекты ЛП 58

5.7. Симплекс-метод 61

Практикум 66

Матрицы 66

Системы линейных уравнений 67

Векторная алгебра 68

Аналитическая геометрия 69

Линейное программирование 72

Задачи для самостоятельного решения 76

Вопросы для самопроверки 76

Контрольные 78

ЧАСТЬ 2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 79

1. Предмет теории вероятностей 80

2. Основные понятия и определения 81

3. Статистический анализ результатов экспериментов 82

4. Множество событий и операции на нем 83

5. Эмпирическая вероятность 87

6. Классическая вероятность 88

7. Схемы случайных экспериментов 91

7.1. Схема без возвращения с упорядочением 91

7.2. Схема без возвращения и без упорядочения 93

7.3. Схема с возвращением и с упорядочением 94

7.4. Схема с возвращением без упорядочения 94

8. Геометрическая вероятность 96

9. Условная вероятность 100

10. Формула полной вероятности 104

11. Формула Байеса 106

Практикум 108

Операции над событиями 108

Расчет числа исходов 109

Классическая вероятность 111

У словная вероятность 113

Формулы полной вероятности и Байеса 113

Задачи для самостоятельного решения 116

Вопросы для самопроверки 117

Контрольные 118

Словарь символьных обозначений 119

Список литературы 120

ВВЕДЕНИЕ

Для многих поступающих в гуманитарный вуз заветная мечта – поскорее забыть математику как страшный сон и никогда с ней больше не встречаться. Объяснением тому служат гуманитарные наклонности и накопившееся еще в школе непонимание предмета. Однако Государственный образовательный стандарт предъявляет серьезные требования к математической подготовке будущих специалистов вне зависимости от профиля вуза,

т.к. эта наука является важной составной частью общечеловеческой культуры. Уважительное отношение к ней зародилось еще во время древней Эллады благодаря трудам Пифагора, Архимеда, Аристотеля и других ученых и инженеров. Человечество не скупилось на дифирамбы математике. В истории нашей цивилизации математика высоко ценилась не только за свои эффектные достижения в строительстве, астрономии, военном деле и других областях, но наряду с логикой она почиталась как гимнастика ума и даже возводилась в ранг «царицы наук». По мере развития математики и расширения прикладных возможностей рос и ее авторитет как науки. Так, Леонардо да Винчи утверждал, что бесспорная достоверность умозаключений в любой науке может достигаться только при использовании математических методов. Философ Р.Бэкон почти 800 лет назад выразился на этот счет куда более жестко и попросту обвинил в невежестве тех, кто не знает математику. Несмотря на излишнюю резкость, это высказывание, тем не менее, содержит изрядную долю истины. Ведь математика по существу не просто свод формул и приемов вычислений, а образец строгого логического и рационального мышления, направленного на решение совершенно конкретных задач познания окружающего мира и нашего жизнеустройства. Это подтверждают озвученные весной 2008 года результаты многолетних исследований ряда уважаемых зарубежных организаций, которые выявили тот факт, что ВВП на душу населения выше в странах с более высоким уровнем математической культуры граждан. Теперь понятно, что Дж. Буш уже располагал такой информацией, когда во время первого президентского срока призывал повысить уровень математической подготовки учащихся, хотя сам учился весьма посредственно.

В конце концов, почему знание искусства, в отличие от математики, всегда засчитывается в плюс? А ведь математика тоже искусство, причем высокое искусство интеллекта, весьма специфического рода. Вне зависимости от сферы приложения, эта наука по большому счету занимается научным обоснованием и формированием набора аналитических правил для логического заключения вида "если - тогда" и последующими числовыми расчетами на основе имеющихся исходных данных.

Математика уже давно и весьма успешно начала свое проникновение в область гуманитарных наук с немалой для них пользой. Она прочно заняла свое почетное место в управлении и бизнесе, принося прямую и немалую экономическую выгоду. В наше время убежденность в правильности принимаемого управленческого решения невозможно представить без соответствующего математического обоснования. Выпускник университета просто обязан иметь необходимую математическую подготовку.

В основе математики лежат определения и аксиомы, подсказанные интуицией, опытом и здравым смыслом. Эти базовые элементы с помощью логических рассуждений и математических построений преобразуются в целый арсенал математических методов. Созданное на таком, казалось бы зыбком, фундаменте всего лишь правдоподобных предположений и логических умозаключений здание математики, тем не менее, является грандиозным и весьма замысловатым по своей архитектуре, оставаясь в то же время стройным и изящным. Математика блестяще выдержала проверку временем. Изучая ее, испытываешь глубочайшее преклонение перед гением основоположников этой науки и их знаменитых последователей.

В настоящее время, несмотря на обилие учебной математической литературы, трудно найти один источник с рациональным сочетанием преподавания данного предмета на уровне Госстандарта и достаточного разнообразия жизненных примеров, которые убедительно показывают практическую значимость математики для широкой аудитории. В этом плане исключение составляют превосходные учебники МЭСИ (Московский государственный университет экономики, статистики и информатики). Однако они предназначены для подготовки специалистов экономико-математического и технического профиля и потому в полной мере не могут быть рекомендованы студентам МГУКИ.

В данном учебном пособии предпринята попытка компактного изложения некоторых разделов высшей математики при ограничении срока обучения этому предмету всего лишь одним семестром. В таких условиях обеспечить полное соответствие читаемого курса Госстандарту принципиально невозможно. Тем не менее, приводимые в пособии примеры практического применения математических методов призваны способствовать пониманию прикладных возможностей математики и развитию аналитического мышления с таким расчетом, чтобы с помощью приобретенных навыков будущий специалист эффективнее решал свои профессиональные задачи. Для достижения этой цели автор в меру возможности старался сделать читателей активными участниками математических построений.

Предлагаемое пособие состоит из двух частей. Первая часть под названием линейная алгебра знакомит студентов с азами таких базовых разделов математики, как "Матрицы", "Системы линейных уравнений", "Векторная алгебра", "Аналитическая геометрия", "Математическое программирование". Первые четыре раздела помимо самостоятельного значения служат элементной базой для последнего раздела, посвященного изучению оптимизационных задач планирования и принятия решений. Практическая значимость этой темы объясняется всеобщим стремлением к принятию именно оптимальных решений сообразно критериям эффективности с учетом реально существующих возможностей, Во второй части “Теория вероятностей” представлена разделом “Случайные события”. Здесь находят свое научное объяснение выражения типа “пятьдесят на пятьдесят” или “девять против одного” и решаются более сложное задачи случайного мира, в котором мы по сути дела все и живем. Опыт преподавания математики в МГУКИ последних лет убедил автора в том, что именно эта тематика обеспечивает принципиальную возможность рывка от сравнительно простых понятий до относительно сложных математических абстракций и решения практически значимых задач при достаточно глубоком понимании сути дела. Добросовестное изучение материала пособия помимо общекультурного развития неизбежно даст ценный интеллектуальный опыт освоения в малознакомой сфере деятельности, весьма полезный в нашей изменчивой жизни.

Детализация изложения содержания курса совокупно с демонстрационными примерами, вопросами для самопроверки, задачами для самостоятельного решения и контрольными примерами позволяет адресовать это пособие не только студентам дневного обучения, но и студентам вечерней и заочной форм обучения в качестве методического материала.

Ч А С Т Ь 1

Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А

Поиск по сайту: