 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Свойства операций над векторами
1. Достроив треугольник до параллелограмма, как это показано на рисунке, и производя сложение по его противоположным сторонам (сплошная и пунктирная линии), нетрудно убедиться, что 
+ 
= 
= + . Независимость суммы векторов от порядка слагаемых называется коммутативностью.
2. Непосредственным построением проверяется ассоциативность
сложения векторов (скобки определяют приоритет операции)
.
3. Вектор не меняется, если его сложить с нулевым вектором
.
4. Вектор 
называется противоположным вектору 
и обо-
значается = - 
= - . При этом + = 
- 
= 
.
5. Умножение вектора на число ассоциативно относительно умно-
жения чисел 
= 
.
6. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно
сложения чисел 
=λ +μ и векторов λ 
=λ +λ .
Эти равенства означают, что скобки можно раскрывать, а общий
множитель, как число, так и вектор можно выносить за скобки.
7. Скалярное произведение коммутативно 
= 
, поскольку
в силу четности косинуса = 
= 
= .
8. Для любых λ, 
справедливо равенство 
= 
= 
.
9. Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения
векторов 
= 
+ 
. Это равенство означает возможность
раскрытия скобок и вынесения общего множителя за скобки.
10. Скалярный квадрат вектора (
=1) дает 
= 
= 
.
3.2. Векторы в системе координат
Пусть даны два ненулевые и не коллинеарные векторы 
и 
, тогда любой вектор 
может быть представлен в виде
= 
+ 
и это представление единственно. В самом деле, если ‖ 
(
), то по свойству коллинеарных векторов они отличаются друг от друга только на числовой множитель =λ ( =λ ). Отсюда находим λ= 
(λ= 
) в случае сoнаправлености векторов и λ=- (λ=- ), если векторы антинаправлены. Теперь, полагая 
=λ, 
=0 ( =0, =λ) получаем требуемый результат.
В случае неколлинеарности векторам и на этих векторах как
на сторонах строится параллелограмм с таким расчетом, чтобы вектор являлся его диагональю. По построению вектор представляется в виде суммы = 
+ 
, где ‖ и ‖ . По свойству коллинеарных векторов они отличаются только на числовой
множитель и тогда =λ , =μ . Теперь полагая =λ, =μ получим
= 
+ 
.
Говорят, что два ненулевые и неколлинеарные векторы и на плоскости образуют базис. Запись вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется его разложением по базису или представлением в базисе 
, а числа 
и 
называются координатами вектора в этом базисе.
Дополнение базиса некоторой точкой "0", принимаемой за начало отсчета, дает систему координат. Наиболее распространенной является хорошо знакомая еще со школы, декартова система координат с взаимно перпендикулярными осями и единичным ортогональным базисом 
, т.е. ⊥ , 
=1. Названа она так в честь своего творца – французского математика Рене Декарта (ХVII век).
|
  
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| А |
| В |
= , идущий из точки A 
в точку В 
по правилу треугольника может быть представлен в виде суммы = + = 
, поскольку по построению
‖ , 
= 
⇒ = 
,
‖ , 
= 
⇒ = 
или в координатной форме = 
, где = , 
= 
.
Cами базисные векторы своими координатами будут иметь =(1,0), =(0,1).
Таким образом, координаты вектора - его проекции на оси координат, и их вычисление сводится к вычитанию из координат концевой точки соответствующих координат начальной точки. Ориентация вектора в системе координат определяется численными значениями его координат, которые в свою очередь характеризуют взаимное расположение начальной и конечной точек. Координаты вектора определяют координаты его концевой точки относительно произвольно выбранной начальной точки. В самом деле, поскольку вектор - свободный, то в качестве его начальной точки может быть выбрана любая точка плоскости. Координаты концевой точки вычисляются сдвигом из начальной точки на соответствующие величины вдоль осей координат в направлениях, определяемых знаками координат вектора:
= + , 
= + .
Свойства векторов в декартовой системе координат конкретизируются следующим образом.
1. У равных векторов соответствующие координаты равны: 
= 
, = 
, = ⟺ = 
, = 
.
2. При суммировании векторов складываются их соответствующие координаты. Используя свойство дистрибутивности, находим
+ = + 
+ 
+ 
= 
+ 
.
3. При умножении вектора на число на это число умножаются его координаты
λ =λ 
= 
.
4. Ненулевые векторы – коллинеарные тогда и только тогда, когда имеет место пропорциональность их соответствующих координат:
‖ ⟺ 
= =λ =λ = 
⟺ = 
, = 
.
Выразив из двух последних равенств параметр λ, получим пропорцию
λ = 
.
При λ=1 из пропорции находим = и, = 
, что и подтверждает равенство координат равных векторов.
5. В декартовой системе координат скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответствующих координат, а длина вектора вычисляется по теореме Пифагора (очевидно из рисунка):
.
В самом деле, в силу того, что 
=1 и 
=0 имеем
= 
=1, 
= 
=0.
Раскрывая скобки в соответствии со свойством дистрибутивности, найдем
= 
+ 
+ 
= 
+ 
+ 
+ 
,
= 
+ 
, 
= 
+ 
, 
= 
, 
= / 
.
|
|
|
| 3 4 6 х хх хх х [ххх |
| y |
| 8 8 |
|
|
|
|
Примеры. Дано: А(3,5), В(4,6), =(2,-1).
Найти и построить векторы = , = -2 .
Проверить ‖ , 
, найти φ - угол
между векторами и .
Решение.
1. = =(4-3, 6-5)=(1,1).
2. = -2 =(1,1)+(-4,2)=(1-4, 1+2)=(-3,3).
При графическом изображении этой операции вектор 
может быть построен изначально в любой точке плоскости, в частности c начальной
точкой в начале координат, как это показано на рисунке. Поскольку вектор свободный, то путем параллельного переноса совместим его начало с концом вектора . Удлинив вектор вдвое и изменив его направление на противоположное, построим вектор -2 . С тем же успехом вектор -2 =(–4,2) можно было построить сразу исходящим из конца вектора 
со сдвигом концевой точки относительно начальной точки на 4 единицы влево по оси абсцисс и на 2 деления вверх по оси ординат в соответствии со знаками и величинами координат этого вектора.
Коллинеарность векторов и проверяется пропорциональностью их соответствующих координат:
⇒ ∦ .
Признаком ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:
=1×2-1×1=1 
0 ⇒ ∤ .
4. Аналитическая геометрия на плоскости
4.I. Линии на плоскости и способы их задания
Под системой координат подразумевается метод численного описания местоположения точки на плоскости парой чисел. Как и ранее, будем рассматривать декартову систему координат. Для произвольной точки плоскости А(х,у) ее радиус-вектором называется вектор 
=(x,y), где х – абсцисса точки, а у – ее ордината. Числа x и y однозначно определяют положение точки на плоскости, т.е. каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел, и наоборот. Иными словами, система координат отождествляет пару чисел и точку на плоскости с соответствующими координатами.
Существует два способа задания линии – геометрический и ана- литический. В соответствии с первым способом линия на плоскости задается как множество точек, обладающих определенным геометрическим свойством, т.е. формулируется основное геометрическое свойство линии. Аналитический способ заключается в задании линии уравнением f(x,y)=0, связывающим координаты точек линии между собой. Графиком линии G называется множество точек плоскости, координаты которых и только они удовлетворяют уравнению линии G={(x,y): f(x,y)= 0}. Переменные x и y в уравнении линии называются текущими координатами произвольной точки линии М(x,y).
Примеры
1. Биссектриса второго и четвертого квадрантов G={(x,y): x+y =0}. Эта
запись описывает линию, сумма координат точек которой равна нулю.
Координаты точек этой линии равны по абсолютной величине и противоположны по знаку y = -x.
2. Проверить, лежат ли на линии x + y +2=0 точки А(-1,-1) и В(1,1). Подстановкой убеждаемся, что точка А принадлежит линии, а точка В – нет.
Факт пересечения двух линий 
(x,y)=0 и 
(x,y)=0 выявляется по наличию общих точек, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям, т.е. являются решением соответствующей системы уравнений. Если таковых нет, то линии не пересекаются.
Аналитическая геометрия решает две задачи:
- по заданным геометрическим свойствам линии составить ее уравнение;
- по заданному уравнению выяснить геометрические свойства линии.
При этом геометрический способ предопределяет правило построения уравнения линии. В качестве примера найдем уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат. Окружность определяется как геометрическое место точек, равноудаленных от центра (основное геометрическое свойство). Данное определение конструктивно, поскольку, взяв на окружности произвольную точку М(x,y) и применив
| M(x,y) |
| x |
| y |
| r |
или 
+ 
- 
=0, которое и является уравнением окружности радиуса r с центром в начале координат.
Пусть теперь в качестве исходных данных имеется уравнение
, где r - некоторое число. Отождествляя переменные x и y с координатами точки на плоскости и рассматривая это уравнение как формулу Пифагора, справедливую для произвольной точки линии, в качестве ее геометрического свойства получаем равноудаленность точек линии от начала координат, т.е. основное свойство окружности с центром в начале координат.
4.2. Прямая линия на плоскости
| С |
| В |
| А |
и 
являются коллинеарными и это справедливо для любых трех точек прямой. Таким образом, прямая имеет одну единственную векторную характеристику, называемую направляющим вектором. Дополнив направляющий вектор какой-либо точкой прямой с помощью линейки, можно графически построить эту прямую, причем однозначно. Иными словами, через заданную точку плоскости в заданном направлении проходит одна единственная прямая. Это обстоятельство убеждает, что таких исходных данных вполне достаточно для построения уравнения прямой линии. Итак, пусть заданы точка прямой 
(
, 
) и направляющий вектор 
= 
, 
). Подведем линейку к точке , сориентируем ее по указанному направлению и проведем прямую линию карандашом. Соответствующие геометрические построения произведем в системе координат с центром в точке О. На изображенном здесь рисунке конкретное расположение осей координат не указано, поскольку для последующих рассуждений это не имеет значения. Следует отметить, что переход в другую точку плоскости влечет изменение координат, поскольку координаты точки есть величины абсолютные. В противоположность этому перенос вектора в другую начальную точку его координаты не меняет. Таким образом, для построения уравнения прямой мы располагаем точкой и вектором, которые по своей природе являются принципиально различными объектами. Кроме того, в рассмотрение необходимо как-то ввести переменные, присутствующие в уравнении в обязательном порядке. При этом желательно одним выстрелом убить сразу двух зайцев - ввести переменные и заиметь два объекта, с которыми мы можем производить какие-либо операции. Такими известными к настоящему моменту объектами являются векторы. Если взять еще одну точку плоскости в дополнении к заданной, то можно построить второй вектор в пару к направляющему вектору прямой. Поскольку мы строим уравнение прямой, то такую точку логично взять именно на этой прямой, а чтобы появились переменные достаточно взять произвольную точку прямой М(
). По правилу сложения радиус-вектор 
произвольной точки прямой М 
выразится суммой
| O |
| M(x,y) |
|
|
|
|
|
|
|
.
Данное уравнение называется векторным уравнением прямой. Выбор исходной точки не принципиален, поскольку для любой другой точки прямой ее векторное уравнение примет аналогичный вид. По этой причине задание прямой ее двумя точками A(
) и B(
) сводится к первому способу, если принять в качестве направляющего вектора = =(
), а в качестве исходной точки А или В - безразлично.
Перейдем в векторном уравнении к его координатному представлению
(x, y) = (
) + t , ) = (
).
Поскольку у равных векторов координаты равны, то распаковывая данное соотношение по каждой координате в отдельности, получим параметрические уравнения прямой
Выражая отсюда параметр 
, находим каноническое уравнение прямой
t = 
.
Заметим, что равенство в рамке выражает пропорциональность координат коллинеарных векторов 
и и могло бы быть записано сразу после определения этих векторов.
Приведение пропорции к общему знаменателю дает следующее
уравнение
(
) 
=(
) 
или () -() =0.
Раскрывая скобки, и, группируя постоянные величины, найдем
- 
+ (
+ 
)=0.
После ввода общепринятых обозначений
=А, 
=В, + =С
получим так называемое общее уравнение прямой
.
Здесь А и В - коэффициенты при переменных, а С - свободный член.
При построении уравнения прямой вместо направляющего вектора с тем же успехом может быть задан нормальный вектор (нормаль) =(
, 
), ортогональный направляющему вектору, т.е. ⊥ . В самом деле, как это следует из последнего рисунка, при таких исходных данных для графического построения прямой потребуется прямоугольный треугольник. Если одну его сторону - катет сориентировать по нормали, то другой катет укажет направление прямой линии. В этом случае вследствие ⊥ скалярное произведение этих векторов равно нулю
=0 или 
+ 
+ (
)=0.
Обозначив =А, =В, =С, получим то же самое общее уравнение прямой. При этом, сопоставляя обозначения коэффициентов в обоих случаях, находим связь между значениями координат нормального и направляющего векторов
= , 
=- .
Вычислив скалярное произведение нормального и направляющего векторов, нетрудно убедиться в их ортогональности
= 
+ 
= 
=0.
Анализ трех последних уравнений прямой линии показывает, что координаты исходной точки и направляющего или нормального вектора формируют коэффициенты уравнений. При этом в общем уравнении коэффициентами при переменных являются координаты нормали, а информация об исходной точке зашифрована в свободном члене. Таким образом, идентификация прямой линии с помощью любой ее точки и направляющего или нормального вектора является конструктивной в смысле построения ее уравнения на основе установленных ранее признаков коллинеарности и ортогональности векторов.
Все рассмотренные уравнения прямой представляют собой способ расчета координат любой ее точки путем смещения из некоторой исходной точки прямой (условно принимаемой в качестве начала отсчета) вдоль направляющего вектора на соответствующую величину, что обеспечивается путем умножения направляющего вектора на параметр t, т.е. его растяжения или сжатияс возможным изменением направления. Поэтому в качестве направляющего подходит любой вектор, указывающий направление прямой с точностью до противоположного. То же самое относится и к нормальному вектору, который может быть сориентирован на любую сторону от прямой линии.
Каждая прямая задается некоторым линейным уравнением. Верно и обратное, каждому линейному уравнению соответствует некоторая прямая. В самом деле, развернув произведенные действия в обратном порядке, нетрудно проверить, что любое линейное уравнение своими коэффициентами определяет нормальный =(А, В) и направляющий вектор =(-В, А). Теперь, зафиксировав какое-либо значение одной из переменных, через уравнение найдем соответствующую величину другой переменной. Эту пару чисел (
, 
) будем рассматривать в качестве координат точки прямой с нормалью и направляющим вектором .
Поиск по сайту: