Таким образом, взяв коэффициенты любого линейного уравне-

Ния с двумя переменными, построив направляющий или нормальный вектор по указанному рецепту и дополнив его произвольной точкой, координаты которой удовлетворяют данному уравнению, получим соответствующую прямую на плоскости. В этом и состоит суть геометрической интерпретации линейного уравнения.

Каждое из полученных эквивалентных уравнений прямой линии в конкретной ситуации имеет перед остальными определенные преимущества, и далее будет использоваться сообразно этому обстоятельству.

Пример. Построить все уравнения прямой линии, заданной своим

общим уравнением

l: 2 х + 3 у + 6 = 0.

Из уравнения находим =(-3, 2), =(2, 3). Определим координаты точек

пересечения прямой с осями координат, полагая последовательно каждую из переменных равной 0 и вычисляя соответствующее значение другой переменной. При х =0 из уравнения находим y = -2, а при y =0 x = -3. В качестве исходной точки выберем любую из найденных точек

прямой, например, примем (0,-2). Тогда векторное уравнение прямой будет иметь следующий вид

(-3, 2) = +2 t).

Расписывая полученный результат в координатах, сразу же получаем параметрические уравнения

+2 t.

Исключив параметр t или, что то же самое, вспомнив про пропорциональность соответствующих координат коллинеарных векторов, найдем каноническое уравнение прямой

.

4.3. Задачи о прямых

1. Провести прямую через две заданные точки ( ) и ( ).

В качестве направляющего вектора прямой, возьмем вектор

= = ( ).

Тогда коэффициентами общего уравнения при переменных будут A= и B= -(). Если за исходную точку при построении уравнений прямой выбрать , то ее параметрические уравнения

,

Каноническое уравнение

,

Общее уравнение

.

Пример. Провести прямую 𝑙 через точки (1, 1) и (-2, 3). Условия задачи знаками математической стенографии записываются так: ∊𝑙⋼ . Здесь искомый объект помещен в середину записи и окаймлен исходными данными.

Поскольку = =(-3, 2), то сразу же можно записать 2 x +3 y -С=0.

Свободный член уравнения, как и ранее, найдем из условия прохождения прямой линии через заданные точки. Подставив в уравнение координаты точки , найдем С=5. В итоге получаем 𝑙: 2 x +3 y -5=0. Подстановкой убеждаемся, что заданные точки действительно удовлетворяют построенному уравнению и потому лежат на искомой прямой.

Упражнение. Проверить, что выбор в качестве исходной точки вместо , а вместо вектора ему противоположного - приведет к тому же самому результату.

2. Провести прямую через точку ( , ), параллельно заданной прямой 𝑙: A x +B y +C=0 ( ∊ ‖𝑙).

У параллельных прямых как направляющие векторы, так и нормали коллинеарны. Поэтому в качестве нормали искомой прямой может быть принята нормаль заданной прямой =(A,B). Тогда общее уравнение искомой прямой записывается в виде A x +B y +D=0, в котором неизвестна только константа D. По условию задачи A +B +D=0. Выражая из этого равенства D и подставляя его в предыдущее уравнение, окончательно находим

.

Пример. Найти уравнение прямой : (1,2) ∊ ‖ l: x +2 y +3=0. Подставляя в формулу численные значения, получаем : x+2y-5=0.

3. Провести прямую через точку ( , ), перпендикулярно заданной прямой l: A x +B y +C=0 ( ∊ ⊥𝑙).

.

Пример. Построить уравнение прямой : (1, 1) ∊ ⊥𝑙: x-y -1=0.

Подстановка исходных данных в расчетную формулу дает : x+y -2=0.

4.4. Взаимное расположение прямых. Геометрическая