Матрицу как общий множитель можно выносить за скобки

Известным является факт, что при функционировании нескольких организаций по оказанию услуг в конкурентной среде наблюдается переход клиентуры от одной фирмы к другой. Для конкретизации такой ситуации рассмотрим пример издательства. Замечено, что в зависимости от продолжительности подписки и меры удовлетворенности происходит переход подписчиков от одного издателя к другому. Этот процесс имеет случайный характер и может быть смоделирован некоторой матрицей вероятностей перехода. Безусловный практический интерес представляет оценка ситуации в следующем году, исходя из фактических данных на текущий момент. Для упрощения решения этой задачи в качестве базовой единицы рассмотрим 1000 подписчиков, разобьем ее на четыре категории по продолжительности подписки: – до 1-го года; – от 1-го года до 2-х лет; – свыше двух лет; – аннулированные подписки. Соберем эти показатели в вектор–строку N= и проанализируем ее трансформацию в следующем году, обозначив ожидаемое распределение по тем же категориям вектор-строкой Х= Упоминавшаяся выше матрица вероятностей перехода P, позволяет по численному распределению всех подписчиков по данным категориям в текущем году прогнозировать их количественное перераспределение в следующем году по формуле X=N·P. Для условного примера примем

Р = .

Если в нынешнем году на тысячу подписчиков их распределение по категориям определяется строкой N= , то в следующем году для этой же тысячи человек картина будет уже такой X= . Содержательный анализ полученных результатов позволяет выявить следующие факты. Подписчики 1-й категории в количестве 350 человек перейдут во 2-ю категорию, а 150 из них аннулируют свою подписку, т.е. почти треть новых подписчиков в течение первого же года окажется полностью разочарованной в издании. В целом полная убыль клиентуры по всем категориям составит 220 человек, что превышает 20%. Такая информация дает серьезный повод для размышлений и поиска решений с целью изменения ситуации к лучшему. К числу таких мер относится изменение формата издания, интервенция рекламы и т.п. Характер рассмотренного примера позволяет рассчитывать на правомерность такого подхода при решении аналогичных задач в сфере оказания услуг, в частности для компаний мобильной связи.

2. Системы линейных уравнений

2.1. Основные определения

Этот метод органично предопределяется своим объектом, т.е. системой линейных уравнений. Для лучшего понимания сути дела сначала рассмотрим простую систему двух уравнений с двумя неизвестными

Ее расширенная матрица

Решить такую систему – значит найти значения неизвестных, удовлетворяющие сразу всем уравнениям, т.е. свести ее к виду

Последние два равенства, очевидно, также являются системой линейных

уравнений, каждое из которых содержит лишь одну неизвестную. Дополнив каждое из них другой переменной, взятой с нулевым коэффициентом, получим следующую систему линейных уравнений

с расширенной матрицей

левая секция которой представляет собой единичную матрицу Е.

Таким образом, если правильно перейти от матрицы А к Е, то на месте столбца свободных членов в правой секции расширенной матрицы окажется решение задачи. Остается только определить, с помощью каких операций такой переход можно осуществить. Ответить на этот вопрос позволяет содержательный анализ изучаемого объекта. Самым простым действием, не меняющим решение задачи, является перестановка местами уравнений системы. Далее, имея дело с равенством, можно умножить обе его части на одно и то же число. Наконец, к обеим частям равенства можно прибавить одну и ту же величину. Однако к равенству мы будем прибавлять не число, а другое равенство, умноженное на некоторое число, осуществляя сложение почленно, складывая, соответственно левые и правые части. При этом произойдет сложение соответствующих коэффициентов при переменных. Например, прибавление ко второму уравнению первого равенства, умноженного на λ, даст следующий результат

+ +λ +λ = + = + .

Таким образом, арифметические операции реально производятся исключительно над числовыми параметрами системы, а сами переменные играют роль общих множителей. При этом величину λ целесообразно выбрать с таким расчетом, чтобы коэффициент при одной из переменных обратился в нуль, что фактически будет означать исключение соответствующей неизвестной. Осуществлению всех перечисленных действий над уравнениями системы соответствует выполнение аналогичных операций над строками расширенной матрицы и наоборот. Сформулируем теперь свод правил преобразований расширенной матрицы, которые принципиально не могут испортить решение системы линейных уравнений, если оно конечно существует. Введем следующие символические обозначения:

i ⃝ ⇄ к ⃝ — переставить местами две строки с указанными номерами;

i ⃝ λ — умножить i -ю строку на число λ;

i ⃝ + к ⃝ λ — к i -й строке прибавить к -ю строку, умноженную на λ.

Второе действие обеспечивает получение единиц путем деления на подходящую величину. Последнее действие при сложении двух строк использует предыдущую операцию и обеспечивает обнуление элементов матрицы коэффициентов. Все три действия в совокупности образуют группу элементарных преобразований (ЭП) матриц и составляют алгоритмическую основу метода Гаусса. При этом следует помнить, что, оперируя со строками расширенной матрицы, мы те же самые действия производим над уравнениями системы и каждому столбцу матрицы коэффициентов соответствует определенная переменная. В результате приведения матрицы коэффициентов к единичной матрице происходит обнуление коэффициентов при переменных, что означает их фактическое исключение из соответствующих уравнений. Поэтому метод Гаусса называют еще методом исключения неизвестных. Заметим, что во всех построениях не было необходимости в каких-либо ограничениях на размерность системы уравнений. Продемонстрируем применение метода Гаусса на численных примерах.

Составим расширенную матрицу данной системы линейных уравнений и найдем ее решение методом исключения неизвестных. Для обеспечения регулярности действий в программных реализациях алгоритма Гаусса сначала обнуляется часть матрицы А под главной диагональю (нижний левый угол) и так называемый “прямой ход” завершается преобразованием матрицы коэффициентов в верхнюю треугольную. Затем обнуляется верхний правый угол матрицы А и “обратный ход” заканчивается

построением единичной матрицы. При решении задач будем руководствоваться именно этим принципом. Итак, приступим:

.

Распаковав полученную матрицу, найдем решение =2 и, подставив эти величины в уравнения системы, нетрудно удостовериться в правильности полученного решения.

Трансформация последней матрицы в систему линейных уравнений дает следующий результат:

Отсюда следует, что придавая произвольные значения, найдем соответствующие им величины и и в результате получим бесконечное множество решений. Таким образом, признаком неединственности решения системы линейных уравнений является образование нулевой строки в расширенной матрице в процессе элементарных преобразований.

На сей раз в расширенной матрице появилась строка, которую можно истолковать как противоречие "0=1". Однако это противоречие мнимое, и сигнализирует оно о несовместности системы. В самом деле, принципиальной особенностью элементарных преобразований является сохранение равенств. В случае несовместности не существует значений переменных, которые одновременно удовлетворяли бы всем уравнениям системы. Вследствие этого, хотя бы одно из уравнений не может выполняться как точное равенство, и вместо знака равенства имеет место неравенство. Сложение равенства с неравенством даст конечно же неравенство, чем и объясняется непротиворечивость такой строки.

Метод Гаусса реализован во всех пакетах математических программ. Его эффективность заключается в том, что он легко справляется не только со случаем единственного решения, но и выявляет ситуации не единственности решения и его отсутствия вообще.

В соответствии с изображенной ниже принципиальной схемой метода Гаусса, как только на месте матрицы коэффициентов А в результате элементарных преобразований матрицы окажется единичная матрица Е, тогда место вектор-столбца свободных членов займет искомое решение задачи X:

Если же в расширенной матрице образуется полностью нулевая строка, то это означает неединственность решения. Отсутствию решения будет соответствовать нулевая строка в левой секции и ненулевая величина справа.

Вычислительная схема метода Гаусса построена здесь без использования формул исключительно на основе действий, не нарушающих равенства.

2.3. Пример моделирования экономических объектов

Системы линейных уравнений находят широкое применение при решении практических задач в различных областях. Эффективное использование матричного исчисления в моделировании экономики США нашим соотечественником В.В. Леонтьевым, положило начало работе по созданию экономических механизмов защиты от кризисных ситуаций за счет рационального сочетания государственного регулирования и свободного рынка. Как показало время, эта работа дала неплохие результаты, и призрак великой депрессии 30-х годов не грозил бы миру, если бы идеи и наработки многих ученых экономистов и математиков не были преданы забвению. Учитывая предостережения аналитиков еще за два года до обвала в ипотечном секторе США, положившим начало всеобщему кризису, бездействие международных финансовых институтов и правительств вызывает глубокое недоумение. И только после того как грянул гром все дружно зашевелились.

В конце войны, Леонтьев в результате глубокого и всестороннего анализа экономики США предсказал, что после победы спрос на металл не только не упадет, чего все опасались, а наоборот возрастет за счет строительного бума и оказался совершенно прав.

Впечатляющий пример научной и практической деятельности Леонтьева дает послевоенный период, когда он с коллективом ученых и специалистов был приглашен в Японию. Леонтьев - один из общепризнанных идеологов японского экономического чуда. Располагая достоверной экономической информацией этого островного государства, он создал всеобъемлющую модель межотраслевого баланса, которая послужила весьма эффективным руководством к действию. Серьезное отношение правительства Японии к эконометрическим идеям и практическим наработкам Леонтьева и других ученых и специалистов в планировании и прогнозировании способствовало выдвижению страны Восходящего Солнца на лидирующие позиции в мире. В знак признания заслуг ученого-практика Япония приняла на себя хлопоты по сохранению его научного наследия, выкупив у США его личную библиотеку и создав на этой основе музей. Всемирное признание идей и практического вклада Леонтьева сделали его почетным членом множества университетов в различных странах мира, лауреатом Нобелевской премии по экономике за 1973 г., кавалером высших наград, к числу которых относятся орден Почетного Легиона, орден Восходящего Солнца и т.д.

В период становления РФ как самостоятельного государства и коренной перестройки всей экономики Леонтьев получил соответствующее предложение Б. Ельцина и охотно принял его. Однако, несмотря на искреннее желание ученого применить свои знания с пользой для родины, он был вынужден от этого отказаться в силу противодействия со стороны олигархических кругов, которые не были заинтересованы в наведении строгого учета хозяйственной деятельности. По этому поводу можно выразить только глубокое сожаление, поскольку профессиональная некомпетентность реформаторов, а также алчность и нечистоплотность бизнеса вызвали лихорадочные метания нерегулируемого псевдо рынка, дефолт и непомерную инфляцию, которые тяжким бременем легли на плечи нашего многострадального народа. В то же время развитые страны восточной Европы продемонстрировали возможность куда менее болезненного перехода на другую политическую, экономическую и хозяйственную платформу.

В дальнейшем периодически будет употребляться термин "математическая модель" или просто "модель". Математической моделью объекта называется система математических соотношений, описывающих количественные и качественные зависимости его элементов знаками математической символики. Эконометрические идеи Леонтьева нашли свое воплощение в моделях межотраслевого баланса, суть которых можно продемонстрировать на простом примере.

Рассмотрим функционирование n отраслей экономики в течение определенного промежутка времени. Каждая отрасль производит свою продукцию (товары и услуги), которая является частично конечным продуктом внепроизводственного (общественного потребления), а частично идет на удовлетворение собственных внутриотраслевых нужд (продукты обмена).

Конечное потребление

Продукт

Отрасль

Другие отрасли

 

 

Так сталелитейная промышленность выпускает сталь, из которой изготавливаются рельсы и крепежные изделия (болты, гайки и т.п.). И то и другое потребляют сама сталелитейная промышленность, а также машиностроение, строительство, железнодорожный транспорт, обеспечивая перевозку людей и грузов, в том числе крепежа и рельсов для себя и других отраслей, сырья для сталелитейных заводов, крепежа как конечного продукта и т.д. Ввиду большой сложности всеобъемлющей модели ограничимся изучением, так называемой однопродуктовой модели (каждая отрасль производит только один продукт).

 

Обозначим:

n - количество рассматриваемых отраслей;

- объем продукции произведенной i -й отраслью;

- объем конечного продукта потребления i -й отрасли;

- объем продукции i -й отрасли, использованный j -й отраслью.

Моделью межотраслевого баланса Леонтьева называется система равенств, обеспечивающая строгую сбалансированность объемов производства с внутриотраслевым и конечным потреблением. Если в модель включены все отрасли, использующие все продукты обмена, то она называется консервативной. В рамках консервативной модели объем всей произведенной продукции идет на удовлетворение потребностей в конечном продукте и обеспечение нужд других отраслей в этом продукте, т.е. нет ни дефицита, ни перепроизводства:

, i =1,...,n.

Обозначим . Эти величины называют коэффициентами прямых затрат, поскольку они определяют количество единиц продукции i -й отрасли, необходимое для изготовления единицы продукции j -й отрасли.

Тогда

, i =1,...,n

или в компактной матричной записи

X=AX+P,

где Х= и Р= вектор-столбцы объемов производства и конечного

потребления, а квадратная матрица A= характеризует потребности

отраслей друг в друге и называется матрицей прямых затрат.

Решением данной системы уравнений является совокупность значений неизвестных Х (план задачи), обеспечивающая удовлетворение потребностей в конечном продукте в размере Р с учетом внутриотраслевого потребления, определяемого матрицей А. В соответствии с правилами матричных операций, перепишем полученную систему в виде

EX=AX+Р или (E-A)X=P.

Однако экономическое содержание задачи требует дополнительно еще и неотрицательности решения (плана), что будет выполнено не для любой матрицы А с неотрицательными элементами. В случае существования решения задачи при любых объемах конечного потребления матрица А называется продуктивной. Продуктивность матрицы А будет обеспечена, если для всех ее столбцов сумма их элементов не превосходит единицы, а хотя бы для одного столбца () это неравенство является строгим, т.е. ≤1, j =1,.. -1, +1,... n, <1 (критерий продуктивности).

Пример. Экономическая система состоит из двух объектов с заданной матрицей прямых затрат и объемов потребления в условных единицах.

 

	1 2	P
	0,2 0.4 0,6 0.1

 

 

Согласно приведенному критерию, матрица прямых затрат продуктивна, и поэтому решение задачи существует. Вычисляем расширенную матрицу (Е-А|Р) и с помощью метода Гаусса находим план задачи:

,

Таким образом, для обеспечения сбалансированного функционирования

двух отраслей им надлежит произвести продукцию в указанных объемах.

 

 

2.4. Содержательно важные аспекты анализа решений СЛУ

При анализе систем линейных уравнений в прикладных задачах ситуации совместности и несовместности, единственности и неединственности решения могут играть как положительную, так и отрицательную роль. Характеристика этих ситуаций в категориях "хорошая" или "плохая" определяется существом объекта или процесса, отображаемого системой линейных уравнений. Если система уравнений моделирует условия банкротства компании, то существование решения означает ее неминуемый крах, что, конечно же, нежелательно. В то же время отсутствие решения в данной ситуации является безусловным благом. Если система уравнений описывает деятельность строительной организации, то существование единственного решения может означать, например, что сдача объекта в срок возможна лишь в случае неукоснительного соблюдения графика необходимых работ. Таким образом, существование единственного решения в зависимости от конкретной ситуации в содержательном отношении может быть как достоинством, так и недостатком.

Полезную информацию содержит также случай образования нулевых строк в матрице коэффициентов системы в процессе ее преобразований по методу Гаусса. Такая ситуация свидетельствует о наличии в системе уравнений, которые как бы дублируют некоторую часть уравнений системы. Содержательный анализ системы на предмет самостоятельной роли ее уравнений способствует выявлению несущественных факторов, что представляется весьма полезным.

Ситуация с неединственным решением является наиболее интересной и перспективной. В этом случае разумно поставить задачу выбора из множества решений такого, которое было бы наилучшим в смысле некоторого критерия, к примеру, минимума затрат, максимума дохода, минимизации сроков строительства, минимизации отходов при раскрое материалов и т.п. Именно с неединственности решения начинается тернистый путь к задачам оптимизации, играющим чрезвычайно важную роль в различных сферах человеческой деятельности, а уж о менеджменте и говорить не приходится. Это ничуть не удивительно, поскольку формулировка оптимизационной задачи в самом общем виде звучит следующим образом: из множества равнозначных решений, допускаемых системной условий задачи, выбрать наилучшее из них в соответствии с некоторым критерием оптимальности. Практическая значимость оптимизации объясняется тем, что под такую формулировку подпадает подавляющее большинство задач принятия решения, и в том числе задач планирования и управления. Даже в своей повседневной жизни мы стремимся находить именно оптимальные решения. Взять хотя бы приобретение бытовой техники. Например, при покупке холодильника кто-то будет руководствоваться соображениями минимальной стоимости при выполнении определенных условий: высота, количество камер, наличие антибактериального покрытия, количество компрессоров или термостатов, уровень шума и т.п. В противоположность этому другой покупатель, не заботясь о цене, будет стремиться приобрести холодильник производителя с наиболее высоким рейтингом, опять-таки предъявляя определенные требования к устройству и дизайну товара. При этом в нашем сознании высокий рейтинг фирмы производителя связывается с высоким качеством товара и как следствие с его более высокой ценой.

Строгая математическая формализация простой оптимизационной задачи будет изучена позже. Однако уже сейчас из рассмотренных соображений совершенно ясно, что ее обязательными атрибутами должны быть критерий оптимальности, как выразитель эффективности принимаемого решения и система условий, в которой учтены ограничения реально существующих возможностей.

 

 

3. Векторная алгебра

3.1. Векторы и операции над ними

Сами того не замечая, мы постоянно сталкиваемся с величинами, которые характеризуются не только своими значениями, но и направлением: движение тела, приложение усилия и т.п. Такие величины называются векторами и являются объектами изучения "Векторной алгебры". В наших целях достаточно ограничиться рассмотрением двухмерного случая, т.е. плоскости, которая допускает простую геометрическую интерпретацию векторов и операций над ними.

‖ ⟺ =λ при некотором λ.

= ,

где - угол между векторами и .

В этой формуле учитываются не абсолютные направления векторов, а их расположение относительно друг друга.

=0 ⟺ () либо =0 или =0 (коротко =0).

Таким образом, признаком ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Поиск по сайту: