Для несовместных событий вероятность их суммы равна сумме

Одним из классических экспериментов теории вероятностей является “вбрасывание точки” в некоторую геометрическую замкнутую область. Для определенности зададим на плоскости квадрат со стороной равной 1 и обозначим его Ω. В этот квадрат наугад вбрасывается точка и

Р(А) = .

Применительно к ситуации, изображенной на рисунке, находим

Р(А) = = 0,35.

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами классической вероятности:

- отношение площади вложенной фигуры А к площади Ω неотри-

цательно и не превосходит 1;

- несовместным событиям отвечают непересекающиеся области и

потому их сумме соответствует суммарная площадь;

- полному набору событий соответствует разбиение Ω на непересе-

кающиеся области, дающие в своем объединении Ω.

Для иллюстрации практического применения геометрической вероятности рассмотрим следующую задачу: юноша и девушка договорились о встрече между 19 и 20 часами, поклялись непременно придти и условились, что один ждет другого только 15 мин, а затем уходит. Какова вероятность их встречи.

Преодолев первоначальное замешательство от такой постановки вопроса, напряжем свои логические способности. Очевидно, что сначала надо выжать все возможное из имеющихся исходных данных и затем распорядиться полученной информацией сообразно ее содержанию. Итак, интервал встречи составляет 1 час. Поскольку влюбленные гарантированно приходят в этот интервал времени, то разумно обозначить время их прихода в долях часа: 𝑥 - пришел юноша; 𝑦 - пришла девушка. Тогда 0 , . По условию задачи для встречи необходимо, чтобы разность между моментами их прихода вне зависимости от того кто пришел первым не превышала часа, т.е. . При наличии двух параметров 𝑥 и 𝑦в голову сразу же приходит мысль о декартовой системе координат, в которой моменты прихода изобразятся на плоскости точкой (𝑥, 𝑦) с соответствующими координатами. Причем все точки улягутся точно в квадрат с единичной стороной. Например, если юноша и девушка пришли в 19.30 и 19.40, то такая ситуация отождествится с точкой квадрата (, ). Далее, займемся препарированием модульного неравенства и с помощью школьных знаний без большого труда получим два неравенства:

которые в своей совокупности устанавливают ограничения на возможные изменения параметра : Обратившись к разделу “Линейное программирование” п. 5.6 нетрудно установить, что это двойное неравенство задает на плоскости область между двумя прямыми : , и : - , ограниченную

{ : (, 0), (1, )}, { : (0, ), (, 1) }, и определив с помощью их нормальных векторов =(1, -1) и =(-1, 1) зоны действия соответствующих неравенств получим фигуру В, обозначенную на рисунке штриховкой. Каждая точка В гарантирует встречу молодых людей,

т.е. является благоприятной для одноименного события В=”встреча состоялась”. Теперь для решения задачи с полным основанием можно применить формулу геометрической вероятности. Площадь фигуры В удобно вычислить как разность площади Ω и общей площади двух не заштрихованных треугольников, которые будучи сложенными вместе по гипотенузе дадут квадрат со стороной . Тогда

Р(В) = = = 1- = < = 50%.

Полученный результат свидетельствует, что при заданных исходных данных вероятность встречи молодых людей несколько меньше 0.5, т.е. встреча скорее не произойдет, нежели состоится.

Таким образом, задача о встрече успешно решена с помощью изначально не очевидных, но простых геометрических построений. Рассмотренный пример изящного применения аппарата ТВ вкупе с приведенными выше схемами выбора шаров из урны демонстрируют широту и мощь прикладных возможностей этой науки.

поскольку при сложении площадей А и В площадь их пересечения АВ будет учтена дважды - в составе А и В. Поэтому следуя принципам геометрической вероятности в случае совместности случайных событий получаем

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

и если события несовместны, то в силу Р(АВ)=0 данная формула превращается в полученное ранее правило - “вероятность суммы двух несовместных случайных событий равна сумме их вероятностей”. В¹ противном случае в этой формуле появляется поправочный член, учитывающий совместность случайных событий в виде вероятности их произведения. Хотя данная формула верна в общем случае приведенные здесь рассуждения не являются строгим доказательством и скорее могут рассматриваться в качестве мнемонического правила.

Информация, полученная в ходе случайного эксперимента, может изменить вероятность некоторых исходов в последующих испытаниях. Например, если из урны с несколькими разноцветными шарами извлечен единственный имеющийся в ней черный шар, то вероятность достать потом еще один черный шар равна нулю.

Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной и обозначается Р(А|В).

Если при бросании кубика А=”выпало 2”, В=”выпало четное число”, С=”выпало 3”, то

Р(А) = Р(С) = , Р(В) = = , однако Р(А|В) = , Р(А|С) = 0.

На этом примере видно, что в случайном эксперименте с N равновозможными и несовместными исходами при расчете вероятности события А при условии, что произошло событие В общее число исходов сокращается до количества исходов благоприятствующих В. Иными словами событие А рассматривается на фоне В. Таким образом за общее число исходов принимается количество исходов благоприятных для В, а за количество исходов благоприятных для А берется число исходов благоприятных для А и В одновременно, т.е. благоприятных для произведе-

ния АВ.

Поиск по сайту: