Задачи для самостоятельного решения. 1. Формализовать (описать математически) события “выпадение хотя бы одного орла в двух бросаниях монеты” и “выпадение двух орлов”

1. Формализовать (описать математически) события “выпадение хотя бы одного орла в двух бросаниях монеты” и “выпадение двух орлов”. Имеется ли принципиальное отличие этой ситуации от эксперимента с одновременным бросанием двух монет? Что можно сказать о несовместности и независимости событий в этой задаче?

2. Сколькими способами можно переставить 7 различных книг на полке.

3. Сколькими способами можно разделить 10 различных цветных карандашей между двумя студентами поровну.

4. В первой урне 6 белых и 9 черных шаров, во второй - 6 белых и 4 черных шара. Из первой урны извлекли 2 шара, положили их во вторую урну, все в ней перемешали и наугад достали 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар белый. Найти вероятность того, что из первой урны были извлечены белый и черный шары, если из последней урны достали черный шар.

Указание. Дерево вероятностей строится из расчета проведения 3-х опытов: из первой урны извлечен первый шар, затем второй шар и помещены во вторую урну, наконец, из второй урны вынут 1 шар. Сообразно этому на дереве вероятностей образуется некоторое количество ветвей.

Вопросы для самопроверки

1. Истоки теории вероятностей. Случайный эксперимент, испытание, исход. Статистический анализ результатов экспериментов.

2. Множество событий. Противоположное, невозможное, достоверное событие. Сумма и произведение событий, их графическая иллюстрация и свойства (коммутативность, ассоциативность). Несовместность событий. Полный набор событий.

3. Эмпирическая вероятность, ее свойства и недостатки.

4. Определения классической вероятности: благоприятность, равновозможность, расчетная формула. Свойства классической вероятности.

5. Расчет количества исходов и вероятностей в схемах случайных экспериментов:

- без возвращения с упорядочением;

- без возвращения и без упорядочения;

- с возвращением и с упорядочением;

- с возвращением без упорядочения.

6. Геометрическая вероятность и принципы ее расчета.

7. Условная вероятность, расчетная формула и свойства. Независимость случайных событий.

8. Формула полной вероятности. Дерево вероятностей.

9. Формула Байеса.

Контрольные

Контрольная 1

1. При одновременном бросании двух кубиков формализовать событие “выпадение хотя бы одной цифры 4” и “выпадение двух цифр 4”. Будет ли отличаться решение этой задачи от случая бросания одного кубика дважды? Как здесь проявится аспект несовместности и независимости событий?

2. Найти количество различных способов разложить на столе последовательно 5 экзаменационных билетов.

3. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,5. Каковы вероятности попадания дважды и хотя бы одного попадания в серии из двух выстрелов?

Задачу решать с учетом взаимоотношения событий в плане совместности - несовместности и зависимости - независимости:

- через сумму совместных событий;

- через сумму несовместных событие;

- через противоположное событие.

Проверить полученные результаты с помощью таблицы с перечислением всех мыслимых исходов.

Контрольная 2

В каждой из 3-х групп по 25 студентов. Число студентов, сдавших ТВ соответственно 22, 20, 18. Какова вероятность того, что выбранный наугад сдавший студент учится в 1-й группе.

Указание. Задачу решать с помощью дерева вероятностей построенного по принципу: выбор группы, выбор сдавшего студента из группы. При этом проводить два опыта, - сначала наугад выбрать группу, а затем из этой группы наугад выбрать сдавшего студента.

Словарь символьных обозначений

В учебном пособии используется следующая система символьных обозначений связи математических объектов:

⟶ - преобразование матрицы в эквивалентную ей посредством элементар-

ных преобразований;

∥ - коллинеарность векторов, параллельность прямых и плоскостей;

∦ - неколлинеарность, непараллельность;

⇈ - сонаправленность векторов;

⇅ - антинаправленность векторов;

⊥ - ортогональность векторов, перпендикулярность прямых;

∤ - неортогональность, неперпендикулярность;

⇒ - означает, что из левой части утверждения логически следует его правая

часть и читается как "следовательно", "вытекает";

⇔ - подразумевает, что из левой части утверждения логически следует его

правая часть, и наоборот; в зависимости от контекста читается как

"тогда и только тогда, когда", "необходимо и достаточно", "означает";

∊ - символ принадлежности; записи a ∊M или M⋼ a читаются так:

элемент а принадлежит множеству М или М содержит а;

: - раскрывает содержание предшествующей ему записи и читается как

“обладающий свойством” или ”такой, что”; используется в описании

множества в качестве разделителя его элемента и условия, которо-

му он подчиняется, а также располагается между символическим

обозначением прямой линии и ее уравнением. Задание прямой

линии l общим уравнением осуществляется с помощью записи

l: , означающей, что прямая l - такая линия, коор-

динаты точек которой удовлетворяют данному уравнению. Соответ-

ственно график этой линии есть множество точек плоскости, удов-

летворяющих уравнению линии G={(x,y): }.

Список литературы

1. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред.

В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2005.- 656 с.

2. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. М.: Рольф,

2002.- 288 с.

3. Романников А.Н. Линейная алгебра: Учеб. пособие // Московский госу-

дарственный университет экономики, статистики и информатики. М.,

2004. - 124 с.

4. Турецкий В.Я. Математика и информатика. М.: ИНФРА-М, 2004. 560 с.

5. Филимонова Е.В., Тер-Симонян Н.А. Математика и информатика:

Учеб. пособие.-М.:”Маркетинг”, 2002. -С. 88-101.

Дополнительная литература

1. Абчук В.А. Математика для менеджеров и экономистов: Учебник –

СПб: изд-во Михайлова В.А. 2002. 525 с.

2. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике:

Модели, задачи, решения: Уч. пос. –М: ИНФРА-М, 2003. -444 с.

3. Воронов Н.В., Мещеряков Г.П. Математика для студентов

гуманитарных факультетов/Серия “Учебники, учебные пособия” –

Ростов Н/Д. Феникс 2002. -384 с.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:

Учебник для вузов. Изд. 2-е перераб. и доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА 2004.

5. Кузнецов Б.Т. Математика: учебник для вузов. Изд. 2-е перераб. и

доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА.

6. Меняйлов А.И. Математический практикум. Уч. пос. для высшей

школы. –М. Академический проект. 2003. 192 с.

В.С. Колосов

Математика

Учебное пособие

Редактор Д.Г. Валикова

Компьютерная верстка В.С. Колосов

Подписано в печать 02.04.2009 г. Формат 60х84 1/16

Усл.-печ. л.4,4. Уч.-изд. п.л. 7,5. Тираж 100 экз.

Заказ № _____ Цена 64 руб. Ротапринт МГУКИ.

Адрес университета и типографии:

141406 Московская обл., г. Химки-6, ул. Библиотечная, 7.

Поиск по сайту: