 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Системы линейных уравнений
| Действуя по методу Гаусса, составим расширенную матрицу, приведем ее левую секцию к единичной матрице, в правой секции найдем решение системы. |
.
Следует помнить, что на каждой стадии преобразований расширенной матрицы аналогичные действия производятся над соответствующими уравнениями. Поэтому в любой момент каждую строку расширенной матрицы можно прочитать как уравнение, коэффициентами которого являются элементы строки. Поступив так, получим 
= -2, 
=3, 
= -2.
Прямой подстановкой в уравнения нетрудно убедиться в том, что найденные значения неизвестных в самом деле являются решением системы.
Нулевая строка свидетельствует о том, что система является неопределенной. Выражая две первые переменные через третью, найдем  
|
.
| Последняя строка, читаемая как уравнение, даст результат "0=2", который может быть истолкован как противоречие. Однако на самом деле это противоречие мнимое. Преобразования метода Гаусса подбирались по принципу сохранения равенств. В случае несовместности системы одновременное выполнение всех равенств невозможно ни при каких значениях переменных, т.е. среди равенств, по крайней мере, одно будет неравенством. Результатом сложения неравенства с равенством будет, конечно же, неравенство, чем и объясняется отсутствие противоречия в последней строке. Cтрока подобного типа является признаком несовместности системы уравнений. является признаком несовместности системы уравнений. |
Векторная алгебра
1. Дан треугольник с вершинами в точках A (1,2), B (7,10), C (-1,3).
Найти 
и определить - он острый или тупой?
| φ |
|
|
| А |
| В |
| С |
между векторами и 
. Координаты этих векторов находим путем вычитания соответствующих координат конечной и начальной точек: =(6, 8), =(-2, 1). Использование формулы скалярного произведения дает
= 
= 
= 
⇒ cos φ < 0 ⇒ ÐA – тупой в отличие от рисунка.
2. Даны векторы 
= 
+2 
и 
= 
. Найти значения параметра m, при которых ‖ и ⊥ .
Сначала для единообразия запишем первый вектор в координатной форме, т.е. = 
. Далее, используя пропорциональность координат коллинеарных векторов, находим 
= 
. Наконец, раскрывая пропорцию, получаем уравнение 
=8, откуда m= 
= 
.
|
|
|
|
| m |
| m |
=4 m +2 m =6 m, откуда находим m =0. При графической иллюстрации геометрической сути этой задачи рассмотрим возможные расположения векторов в системе координат. На рисунке векторы изображены с совмещенными началами при отрицательных значениях параметра m = -2. Варьирование величиной m влечет одновременное вращение векторов в противоположных направлениях с перемещением концевых точек вдоль соответствующих пунктирных линий. Коллинеарность и ортогональность векторов возникает при вычисленных значениях m.
Аналитическая геометрия
1. Найти уравнение прямой линии l, проходящей через точку 
=(1, 2) перпендикулярно направлению =(-1, 3). В компактной записи – найти l: 
∊ l ^ 
. Поскольку по условию задачи в качестве нормального вектора искомой прямой может быть выбран вектор 
= , то коэффициентами при переменных в уравнении прямой будут координаты этого вектора
l: 
.
Используя факт прохождения прямой через заданную точку, найдем С путем подстановки в уравнение ее координат -1+3×2+С=0, откуда находим С= -5. Тогда
l: 
.
Направляющим вектором такой прямой будет любой вектор, ортогональный нормальному. Этому условию удовлетворяет вектор 
= (3, 1).
Упражнение. Найти ее каноническое и параметрические уравнения.
2. Построить прямую 
: (1, 2) ∊ ∥ . В этом случае вектор может быть принят в качестве направляющего вектора, т.е. = . Такие исходные данные позволяют сразу же построить каноническое уравнение прямой
: 
и параметрические уравнения 
+ 3 t.
Упражнение. Из канонического получить общее уравнение прямой.
3. Найти уравнение прямой 
: ∊ ‖ .
Требование параллельности прямых означает коллинеарность нормальных векторов 
и 
прямых и , вследствие чего можно принять = =(3, 1). Тогда коэффициенты при переменных в искомом уравнении известны : 3 x + y +С=0, а для определения свободного члена уравнения достаточно воспользоваться фактом ∊ , подставив координаты точки в уравнение 3×1+2+С=0, откуда находим С= -5. В итоге записываем искомое уравнение прямой
: 3 x + y -5=0.
4. Найти 
: ∊ ⊥ . Используя перпендикулярность прямых можно принять 
= . Таким исходным данным наилучшим образом отвечает каноническое или параметрические уравнения:
.
Упражнение. Построить все остальные уравнения прямой.
5. Найти уравнение прямой, проходящей через точки 
(1, 1) и 
(-2,3). В качестве направляющего вектора естественно принять
= 
=(-3, 2). Тогда по обкатанной схеме получим параметрические уравнения 
и общее уравнение 2 x +3 y -5=0. Прямой подстановкой нетрудно проверить, что обе заданные точки действительно удовлетворяют общему уравнению, которое тем самым определяет искомую прямую.
6. Геометрическая интерпретация решения системы линейных урав-нений. Ранее в качестве простейших примеров изучались системы с матрицами коэффициентов 2-го порядка. Случай двух переменных помимо простоты привлекателен еще и тем, что позволяет придать решению системы наглядную геометрическую интерпретацию. Теперь мы знаем, что два линейных уравнения системы с двумя переменными задают на плоскости две прямые, которые по своему взаимному расположению могут характеризоваться как пересекающиеся, накладывающиеся друг на друга и параллельные.
В случае пересечения прямых существует единственная общая для них точка – точка пересечения, координаты которой и являются искомыми величинами. Это означает, что решение существует и единственно, т.е. система уравнений – совместная и определенная.
В случае наложения прямых имеется бесконечно большое количество общих точек, что свидетельствует о наличии бесконечного множества решений. Такая система - совместная, но неопределенная.
Поиск по сайту: