Поскольку коэффициенты целевой функции при свободных переменных отрицательны, то её дальнейшее увеличение невозможно и решением задачи является предыдущее допустимое решение

= 28, =2.5, =37.5.

3. Решить симплекс-методом задачу:

L () = ⟶ min,

За счет ввода балансовых переменных , , ограничения задачи преобразуются в систему равенств с равноправными переменными

Выберем переменные , , в качестве базисных и выразим их через свободные переменные и , т.е. приведем систему ограничений задачи к виду

Выразим целевую функцию через свободные переменные

L () = + .

Полагая = =0, найдем =0.5, =1.5, =2.5 и получим начальное допустимое решение =(0, 0.5, 0, 1.5, 2.5), =-0.5.

Первая итерация. Уменьшение L возможно только за счет роста . Увеличение этой переменной лимитируют второе и третье равенства. Из условия равенства и нулю, сохраняя =0, находим соответственно =3 и =5 и, выбирая наименьшее из них, получаем первое допустимое решение =(0, 2, 3, 0, 1), =-2. Теперь в качестве свободных переменных выберем те, которые в базисе имеют нулевые координаты. Второе уравнение позволяет выразить базисную переменную через свободные переменные и . Тогда, подставляя полученное выражение для в остальные уравнения, найдем

L ()= -2 - + .

Вторая итерация. Уменьшить величину L может только . Два первых уравнения не ограничивают ее рост. Удерживая =0 в третьем равенстве и обеспечивая неотрицательность , найдем максимально допустимое значение =0.2 Подсчитав величины остальных переменных, получим =(0.2, 2.4, 3.6, 0, 0), = -2.2. Взяв свободными переменными и преобразуем два последних уравнения, исключив из них .

L ()= -2.2 + 0.8 + 0.2 .

Коэффициенты целевой функции при переменных положительны. Поэтому ее дальнейшее уменьшение невозможно, и тогда решение задачи

= -2.2.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти матрицу С = A + 3B, где A = , B = .

2. Вычислить произведение матриц AB и BA для

А = и В =

3. Найти решение систем линейных уравнений

4. Определить косинус угла между векторами = (1, 2) и = (1, -1).

5. Дано: =2, =3 и ^ . Вычислить скалярное произведение

(5 + 3 )(2 ).

6. Решить системы линейных уравнений и сопроводить геометрической интерпретацией:

7. Первую задачу практикума из раздела ЛП решить симплекс-методом.

8. Вторую и третью задачи решить геометрическим способом.

9. Проверить оптимальность решения задачи п.5.7, следуя изложенной

там схеме.

Вопросы для самопроверки

1. Определение матрицы. Классификация матриц по внешнему признаку (прямоугольная, квадратная, вектор-строка, вектор-столбец, число) и внутреннему содержанию (треугольная, диагональная, единичная, нулевая). Операции над матрицами: равенство матриц, сумма матриц, умножение матрицы на число и на другую матрицу. Примеры практического применения матричной алгебры.

2. Определение системы линейных уравнений и ее решения. Совместность, неопределенность, несовместность. Расширенная матрица. Метод Гаусса. Элементарные преобразования. Балансовая модель Леонтьева.

3. Понятие вектора, модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов. Геометрия операций над векторами. Аналитические признаки коллинеарности и ортогональности векторов. Базис, декартова система координат. Реализация операций над векторами в координатах.

4. Аналитический и геометрический способы задания линии, их эквивалентность. Точка и направляющий вектор как идентификаторы прямой. Уравнения прямой линии (векторное, параметрические, каноническое, общее). Задачи о прямых: выявление особенностей прямой по ее уравнению; построение уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно и перпендикулярно заданному направлению (прямой линии); нахождение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки; вычисление точки пересечения двух прямых; выявление параллельности и наложения прямых; геометрическая интерпретация решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

5. Формулировка оптимизационной задачи, ее формализация в рамках линейного программирования и частные постановки (общая, дробно-линейная, транспортная). Целевая функция задачи линейного программирования, критерий оптимальности, система ограничений. Многогранник допустимых решений, оптимальное решение. Геометрический способ решения задачи ЛП. Алгоритмическая основа симплекс-метода. Разновидности математического программирования (целочисленное, нелинейное, динамическое).

Контрольные

Контрольная 1

1. Вычислить - 3 .

2. Перемножить матрицы .

3. = (1, –1), = (0, 1), + =? =? Проверить ‖ , ⊥ .

4. Решить СЛУ и дать геометрическую интерпретацию

5. Построить уравнения прямых и :

= (1, 1) ∊ ⊥ = (1, –3); ∊ ‖ .

Контрольная 2 (внеаудиторная)

Задачи ЛП решить геометрически исимплекс-методом:

L () = ⟶ min, L () = ⟶ max,

Ч А С Т Ь 2

Поиск по сайту: