Интерпретация решения системы линейных уравнений

Сначала исследуем возможное расположение прямой относительно осей координат.

I. Прямая 𝑙 параллельна оси абсцисс, тогда ‖ , а ‖ . Это означает, что =λ =λ(0, 1)=(0, λ). Вспомнив, что координаты нормального вектора являются коэффициентами общего уравнения прямой, т.е. А=0 и В=λ находим 𝑙: B𝑦+C=0 или y = -C/B.

2. Прямая 𝑙 параллельна оси ординат, тогда ‖ . Аналогично

предыдущему случаю =λ =λ(1, 0)=(λ, 0). Теперь, обозначив А=λ и В=0, получаем 𝑙: A х +C=0 или х = -C/A.

3. Прямая проходит через начало координат. Подставляя в общее уравнение прямой координаты начала (0, 0), находим С=0. Тогда общее уравнение прямой будет иметь вид A х + By=0 или y=-(A/B)𝑥.

4. Общий случай A≠0, B≠0, C≠0 означает прохождение прямой не через начало координат под не прямыми углами к осям абсцисс и ординат.

При наличии двух произвольных прямых закономерно возникает вопрос об оценке их взаимного расположения. Анализ возможных ситуаций произведем с помощью общего уравнения прямой в терминах направляющих и нормальных векторов.

Итак, пусть две прямые заданы общими уравнениями

, =(- , ), =(, ),

, =(- , ), =(, ).

Исследование взаимного расположения двух прямых предполагает анализ их уравнений, объединенных в одну систему

5. Единственности решения такой системы соответствует пересечение прямых в одной единственной точке, что будет иметь место только в случае не коллинеарности их направляющих (нормальных) векторов.

Условие ∦ означает непропорциональность соответствующих координат этих векторов, т.е.

или ≠0.

Для решения системы достаточно применить метод Гаусса, который вычислит координаты точки пересечения прямых, т.е. их общую точку.

6. В случае пропорциональности всех коэффициентов

= = λ

первое уравнение получается из второго умножением на некоторое число. Тогда реально имеется, по сути дела, одно-единственное уравнение, т.е. одна прямая. Однако эта ситуация формально интерпретируется как наложение двух прямых. Выражая из первого уравнения одну переменную через другую, находим зависимость

y = - x - или x = - y - .

Полученный результат означает, что придавая одной переменной некоторое значение, для другой переменной получим соответствующее значение. Таким образом, в данном случае решений бесконечно много, как и точек на прямой (неопределенная система).

7. На долю последнего мыслимого случая

≠

остается параллельность прямых (как параллельный сдвиг одной прямой относительно другой на некоторую величину), что означает отсутствие точки их пересечения и, соответственно, отсутствие решения системы линейных уравнений (несовместная система).

Резюмируя вышеизложенное, теперь можно сформулировать признаки совместности, неопределенности и несовместности системы линейных уравнений и дать геометрическую интерпретацию этих ситуаций через взаимное расположение соответствующих прямых.

Система двух линейных уравнений c двумянеизвестными:

- имеет единственное решение в случае непропорциональности

коэффициентов при переменных (прямые пересекаются);

- имеет бесконечно много решений в случае пропорциональности всех

соответствующих параметров уравнений (наложение прямых);

- не имеет решения в случае пропорциональности коэффициентов и

Поиск по сайту: