Проверка статистических гипотез о значениях коэффициентов

т. е. когда наблюдаемое значение отношения

«слишком велико» по абсолютной величине. Последнее означает «слишком большое» отклонение оценки от гипотетического значения параметра , в сравнении с оценкой значения корня из дисперсии оценки этого параметра.

Итак, если

мы отвергаем гипотезу . Однако выполнение этого неравенства для некоторого значения вовсе не означает, что гипотеза обязательно не верна. Если в действительности , то все же имеется вероятность того, что это неравенство будет выполнено.

В последнем случае, в соответствии с выбранным правилом, мы все же отвергнем гипотезу , допустив при этом «ошибку 1-го рода». Такая ошибка происходит в среднем в случаях из ста.

Если бы мы выбрали произвольный доверительный уровень , то тогда мы отвергали бы гипотезу при выполнении неравенства

и ошибка 1-го рода происходила в среднем в случаев из 100. Точнее, вероятность ошибки 1-го рода была бы равна :

отвергается верна = .

Само правило решения вопроса об отклонении или неотклонении статистической гипотезы называется статистическим критерием проверки гипотезы Н ₀, а выбранное при формулировании этого правила значение g называется уровнем значимости критерия.

Выбор большего или меньшего значения g определяется степенью значимости для исследователя исходной гипотезы . Скажем, выбор между значениями и в пользу означает, что исследователь заранее настроен в пользу гипотезы и ему требуются очень весомые аргументы, свидетельствующие против этой гипотезы, чтобы все же отказаться от нее. Выбор же в пользу уровня значимости означает, что исследователь не столь сильно отстаивает гипотезу и готов отказаться от нее и при менее убедительной аргументации против этой гипотезы.

Всякий статистический критерий основывается на использовании той или иной статистики (статистики критерия), т. е. случайной величины, значения которой могут быть вычислены (по крайней мере, теоретически) на основании имеющихся статистических данных и распределение которой известно (хотя бы приближенно).

В нашем примере критерий проверки гипотезы основывался на использовании t-статистики

,

значение которой можно вычислить по данным наблюдений, поскольку – известное (заданное) число, а и вычисляются на основании данных наблюдений.

Каждому статистическому критерию соответствует критическое множество R значений статистики критерия, при которых гипотеза отвергается в соответствии с принятым правилом. В нашем примере таковым является множество значений указанной -статистики, превышающих по абсолютной величине значение

Итак, статистический критерий определяется заданием

a. статистической гипотезы Н ₀;

b. уровня значимости g;

c. статистики критерия;

d. критического множества R.

Можно подумать, что пункты b) и d) дублируют друг друга, поскольку в нашем примере критическое множество однозначно определяется по заданному уровню значимости . Однако, как мы увидим в дальнейшем, одному и тому же уровню значимости можно сопоставить различные критические множества, что дает возможность выбирать множество наиболее рациональным образом, в зависимости от выбора гипотезы (выбор наиболее мощного критерия).

Компьютерные пакеты программ статистического анализа данных (в том числе и Пакет анализа EXСEL)первоочередное внимание уделяют проверке гипотезы

в рамках нормальной модели множественной линейной регрессии

у =a₀+a₁ х ₁ +a₂ х ₂ +…+a_m х _m+e.

где e нормально распределенная случайная величина с параметрами .

Эта гипотеза соответствует предположению исследователя о том, что -я объясняющая переменная не имеет существенного значения с точки зрения объяснения изменчивости значений объясняемой переменной , так что она может быть исключена из модели.

Для соответствующего критерия

a. ;

b. уровень значимости по умолчанию обычно выбирается равным ;

c. статистика критерия имеет вид

если гипотеза верна, то эта статистика имеет - распределение Стьюдента с степенями свободы,

~ ,

в связи с чем ее обычно называют t-статистикой (t-statistic) или t-отношением (t-ratio);

d) критическое множество имеет вид

При этом, в распечатках результатов регрессионного анализа (т. е. статистического анализа модели линейной регрессии) сообщаются:

· значение оценки параметра в графе Коэффициенты (Coefficient);

· значение знаменателя t- статистики в графе Стандартная ошибка (Std. Error);

· значение отношения в графе t-статистика (t-statistic).

Кроме того, сообщается также

· вероятность того, что случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с степенями свободы, примет значение, не меньшее по абсолютной величине, чем наблюденное значение – в графе Р-значение (Р-value или Probability).

В отношении полученного при анализе Р- значения возможны следующие варианты.

Если указываемое P- значение меньше выбранного уровня значимости , то это равносильно тому, что значение t- статистики попало в область отвержения гипотезы , т. е. В этом случае гипотеза отвергается.

Если указываемое P- значение больше выбранного уровня значимости , то это равносильно тому, что значение t- статистики не попало в область отвержения гипотезы , т. е. В этом случае гипотеза не отвергается.

Если (в пределах округления) указываемое P- значение равно выбранному уровню значимости , то в отношении гипотезы можно принять любое из двух возможных решений.

В случае, когда гипотеза отвергается (вариант 1), говорят, что параметр статистически значим (statistically significant); это соответствует признанию того, что наличие j- й объясняющей переменной в правой части модели существенно для объяснения наблюдаемой изменчивости объясняемой переменной.

Напротив, в случае, когдагипотеза не отвергается (вариант 2), говорят, что параметр статистически незначим (statistically unsignificant). В этом случае в рамках используемого статистического критерия мы не получаем убедительных аргументов против предположения о том, что . Это соответствует признанию того, что наличие j- й объясняющей переменной в правой части модели не существенно для объяснения наблюдаемой изменчивости объясняемой переменной, а следовательно, можно обойтись и без включения этой переменной в модель регрессии.

Впрочем, выводы о статистической значимости (или незначимости) того или иного параметра модели зависят от выбранного уровня значимости : решение в пользу статистической значимости параметра может измениться на противоположное при уменьшении , а решение в пользу статистической незначимости параметра может измениться на противоположное при уменьшении значения .