Анализ влияния отдельных факторных признаков на результативный признак

7.2.1.Эластичность и ее свойства.

Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

Эластичностью функции у = f (x) в точке х ₀ называется следующий предел

Если из контекста ясно, в какой точке определяется эластичность, и какая переменная является независимой, то в обозначении эластичности могут опускаться отдельные символы. Эластичность Е_у – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х. Если, например, х увеличится на один процент, то у увеличивается (приближенно) на Е_у процентов.

Для вычисления эластичности используют несколько эквивалентных формул (если существует конечная производная функции у = f (x) в точке х ₀):

Рассмотрим теперь ряд свойств эластичности.

1. Эластичность суммы у = у ₁+…+ у_п положительных функций у _i удовлетворяет соотношению Е _min £ Е_у £ Е _max, где Е _min(Е _max) – это минимальная (максимальная) эластичность функций у _i.

2. Эластичность произведения функций u = u (x) и v = v (x) равна сумме эластичностей функций u и v: Е_uv = Е_u + Е_v.

3. Эластичность частного функций u = u (x) и v = v (x) равна разности эластичностей функций u и v: Е_uv = Е_u – Е_v.

4. Для сложной функции у = f (g (t)) эластичность у по t удовлетворяет равенству Е_уt = Е_уx × Е_xt.

5. Эластичность обратной функции удовлетворяет соотношению Е_ху = Е_ух ^-1.

Примеры:

у = х + С,

у = х^а,

Как видим, эластичность степенной функции не зависит от значения х. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора x. В силу этого для них обычно рассчитывается средний показатель эластичности

Пример 7.1. По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции y от факторов, приведенных в таблице. Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат. Проранжировать факторы по силе влияния. Данные представлены в таблице 7.1.

Таблица 7.1.

Объем производства (х 1)	у (х 1)=0,62+58,74∙(1/ х 1)	2,64
Трудоемкость единицы продукции (х 2)	у (х 2)=9,3+9,83∙ х 2	1,38
Оптовая цена за 1т. энергоносителя (х 3)	у (х 3)=11,75+ х 31,6281	1,503
Доля прибыли, изымаемая государством (х 4)	у (х 4)=14,87∙1,016 х 4	26,3

Тогда получаем:

a) для гиперболы у = b + a / x

b) для линейной функции у = b + ax

c) для степенной функции у = bx^а

d) для показательной функции у = bа^х

Наиболее слабое влияние на изменение признака у оказывает фактор x ₄, поскольку коэффициент эластичности по абсолютной величине имеет самое низкое значение 0,1813.

Это означает, что при росте доли прибыли, изымаемой государством, на 1% себестоимость увеличится на 0,18%. Наиболее сильное влияние на изменение признака у оказывает фактор x ₃, поскольку коэффициент эластичности по абсолютной величине имеет самое высокое значение 1,6281. Это означает, что при росте цены за одну тонну энергоносителя на 1%, себестоимость возрастет на 1,63%.

Упорядочим факторы по силе влияния на изменение себестоимости:

Пример 7.2. В таблице 7.2. указаны парные коэффициенты корреляции. Провести анализ целесообразности включения заданных факторов в уравнение множественной линейной регрессии.

Таблица 7.2.

Между y и x ₃ связь практически отсутствует. Между y и x ₁ связь сильная, между y и x ₂, x ₄ – умеренная.

Отсюда следует вывод о нецелесообразности включения фактора x ₃ в уравнение множественной линейной регрессии (коэффициент парной корреляции с результатом равен 0,08).

Между факторами x ₁ и x ₄ существует сильная прямая связь (коэффициент парной корреляции >0,8). Для того чтобы избежать явления мультиколлинеарности, один из этих факторов должен быть исключен из анализа. Исключается фактор x ₁, умеренно коррелирующий с x ₂ (коэффициент их парной корреляции равен 0,53). Факторы, включенные в модель множественной регрессии: x ₂, x ₄.

7.3. Практический блок

Пример

По данным, представленным в таблице 7.3, изучается зависимость балансовой прибыли предприятия торговли Y (тыс. руб.) от следующих факторов:

X 1 - объем товарных запасов, тыс. руб.;

X 2 - фонд оплаты труда, тыс. руб.;

X 3 - издержки обращения, тыс. руб.;

X4 - объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.

Таблица 7.3.

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии.

2. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

3. Выделите значимые и незначимые факторы в модели.

4. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

5. Для полученной модели проверить выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

6. Проверить полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

Решение.

Для получения отчета по построению модели в среде EXCEL необходимо выполнить следующие действия:

1. В меню Сервис выбираем строку Анализ данных (в случае отсутствия данной строки необходимо установить флажок в окне Надстройки в меню Сервис напротив функции Пакет анализа). На экране появится окно

Рис. 7.1. Анализ данных

2. В появившемся окне выбираем пункт Регрессия. Появляется диалоговое окно, в котором задаем необходимые параметры.

3. Диалоговое окно заполняется следующим образом:

Входной интервал Y - диапазон (столбец), содержащий данные со знамениями объясняемой переменной;

Входной интервал X - диапазон (столбцы), содержащий данные со значениями объясняющих переменных.

Метки - флажок, который указывает, содержат ли первые элементы отмеченных диапазонов названия переменных (столбцов) или нет;

Константа-ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении регрессии ();

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона, в котором будет сохранен отчет по построению модели;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа, в котором будет сохранен отчет.

Если необходимо получить значения и графики остатков (е_i), установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Нажмите на кнопку ОК.

Вид отчета о результатах регрессионного анализа представлен на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Вывод итогов

Рассмотрим таблицу "Регрессионная статистика".

Множественный R - это , где R² - коэффициент детерминации.

R-квадрат — это R². В нашем примере значение R² = 0,8178 свидетельствует о том, что изменения зависимой переменной Y (балансовой прибыли) в основном (на 81,78%) можно объяснить изменениями включенных в модель объясняющих переменных – X₁, Х₂, X₃, X₄. Такое значение свидетельствует об адекватности модели.

Нормированный R-квадрат - поправленный (скорректированный по числу степеней свободы) коэффициент детерминации.

Стандартная ошибка регрессии S = , где S² = - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии); п — число наблюдений (в нашем примере равно 24), т - число объясняющих переменных (в нашем примере равно 4).

Рассмотрим таблицу с результатами дисперсионного анализа.

df - degrees of freedom - число степеней свободы связано с числом единиц совокупности п и с числом определяемых по ней констант (m+1).

SS - sum of squares - сумма квадратов (регрессионная (RSS-regression sum of squares), остаточная (ESS — error sum of squares) и общая (TSS— total sum of squares), соответственно). MS-mean sum - сумма квадратов на одну степень свободы.

F - расчетное значение F-критерия Фишера. Если нет табличного значения, то для проверки значимости уравнения регрессии в целом можно посмотреть Значимость F. На уровне значимости уравнение регрессии признается значимым в целом, если Значимость F< 0.05, и незначимым, если Значимость F 0.05.

Для нашего примера имеем следующие значения (таблица 7.3.)

Таблица 7.3.

Результаты дисперсионного анализа

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	m = 4	RSS=2,82E+09	RSS/df=7,04E+08	21,32	8,28E-07
Остаток	n-m-1=19	ESS=6,27E+08	ESS/df=3,30E+07
Итого	n-1 = 23	TSS=3,44E+09

Расчетное значение F-критерия Фишера составляет 21,32.

Значимость F= 8,28Е-07, что меньше 0,05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.

В таблице 7.4. приведены значения параметров (коэффициентов) модели, их стандартные ошибки и расчетные значения t-критерия Стьюдента для оценки значимости отдельных параметров модели.

Таблица 7.4

Оценка коэффициентов регрессии

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	Р-значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y	a 0 = 7825.51	mb0=5350.78	tb0=7825.51 / 5350.78 = = 1,4625	0.1599	-3373.80 a 0 19024.8
X1	a 1=-0.00098	mb1=0.00172	tb1=-0.569	0.5762	-0,0046 a 1 0,0026
X2	a 2=0.8806	mb2=0.15891	tb2=5.5417	0.00002	0,5480 a 2 1,2132
X3	a 3=0.0094	mb3=0.09754	tb3=0.0961	0.9244	-0,1948 a 3 0,2135
X4	a 4=0.0617	mb4=0.02647	tb4=2.3312	0.0309	0,0063 a 4 0,1171

Анализ таблицы 7.4. позволяет сделать вывод о том, что на уровне значимости = 0.05 значимыми оказываются лишь коэффициенты при факторах X2 и Х4, так как только для них Р-значение меньше 0,05. Таким образом, факторы X1 и Х3не существенны, и их включение в модель нецелесообразно.

Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследованиях имеют четкую экономическую интерпретацию, то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, как, например, -0,1948 а ₃ 0,2135. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть. Это также подтверждает вывод о статистической незначимости коэффициентов регрессии при факторах X1 и Х3.

Исключим несущественные факторы X1 и Х3и построим уравнение зависимости Y (балансовой прибыли) от объясняющих переменных X2 и Х4. Результаты регрессионного анализа приведены в таблицах 7.5, 7.6, 7.7.

Таблица 7.5

Регрессионная статистика

Таблица 7.6

Дисперсионный анализ

Таблица 7.7

Оценка коэффициентов регрессии

Оценим точность и адекватность полученной модели.

Значение R² = 0,8144 свидетельствует о том, что вариация зависимой переменной Y (балансовой прибыли) по-прежнему в основном (на 81,44%) можно объяснить вариацией включенных в модель объясняющих переменных – Х2 и Х4.Это свидетельствует об адекватности модели.

Значение поправленною коэффициента детерминации (0,7967) возросло по сравнению с первой моделью, в которую были включены все объясняющие переменные (0,7794).

Стандартная ошибка регрессии во втором случае меньше, чем в первом (5515 < 5745).

Расчетное значение F-критерия Фишера составляет 46,08. Значимость F = 2.08847Е-08, что меньше 0,05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.

Далее оценим значимость отдельных параметров построенной модели. Из таблицы 7.3 видно, что теперь на уровне значимости = 0.05 все включенные в модель факторы являются значимыми: Р-значение < 0,05.

Границы доверительного интервала для коэффициентов регрессии не содержат противоречивых результатов:

с надежностью 0.95 (с вероятностью 95%) коэффициент а ₁ лежит в интервале 0.64 а ₁ 1,19;

- с надежностью 0.95 (с вероятностью 95%) коэффициент а ₂ лежит в интервале 0,01 а ₂ 0,12

Таким образом, модель балансовой прибыли предприятия торговли запишется в следующем виде:

= 5933,1 + 0,916*Х2+ 0,065*Х4

Параметры модели имеют следующую экономическую интерпретацию. Коэффициент а ₁ = 0,916, означает, что при увеличении только фонда оплаты труда (X2)на 1 тыс. руб. балансовая прибыль в среднем возрастает на 0,916 тыс. руб., а то, что коэффициент а ₂ = 0,065, означает, что увеличение только объема продаж по безналичному расчету (Х4) на 1 тыс. руб. приводит в среднем к увеличению балансовой прибыли на 0,065 тыс. руб. Как было отмечено выше, анализ Р-значений показывает, что оба коэффициента значимы.

Средние коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле, приведенной выше.

Рассчитаем средние значения Y, X2, X4.

=29800,38

=22371,65

=52220,1

Э_х2=0,916*22371,65/29800,38=0,6877

Согласно коэффициенту эластичности по второму фактору - рост фонда оплаты труда на 1% приводит к увеличению балансовой прибыли на 0,6877%.

Э_х4=0,065*52220,1/29800,38=0,1139

Второй средний коэффициент эластичности доказывает увеличению балансовой прибыли на 0,1139% при росте объема продаж по безналичному расчету на 1%.

Для выполнения задания 5 снова воспользуемся “Пакетом анализа”, встроенным в EXCEL.

В соответствии со схемой теста Голдфельда-Квандта упорядочим данные по возрастанию переменной X4, предполагая, что дисперсии ошибок зависят от величины этой переменной.

В нашем примере т =n /3 = 8.

Результаты дисперсионного анализа модели множественной регрессии, построенной по первым 8 наблюдениям (после ранжирования по возрастанию переменной Х4), приведены в таблице 7.8.

Таблица 7.8.

Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по последним 8 наблюдениям, приведены в таблице 7.9.

Таблица 7.9.

Рассчитаем статистику F_расч, = ESS₂/ESS₁ (т.к. ESS₂>ESS₁). Для нашего примера получаем: F= 3,98Е+08/6,04Е+07 = 6,58.

Для того, чтобы узнать табличное значение, воспользуемся встроенной в EXCEL функцией FРАСПОБР(0,05;6;6) с параметрами 0,05 - заданная вероятность ошибки гипотезы Н₀; m-р = 8-2 = 6; m-р = 6 - параметры распределения Фишера. Данная функция находится в категории «статистических» функций.

Статистика F_расч больше табличного значения F=FPACIIOБP(0,05;6;6)=4,28. Следовательно, модель гетероскедастична.

Для выполнения задания 6 по уравнению регрессии определим значения отклонений е_i=y_i- , для каждого наблюдения i (i=1,2,..., n).

Для этого в диалоговом окне Регрессия в группе Остатки следует установить одноименный флажок Остатки. Затем рассчитываем статистику Дарбина-Уотсона по формуле (6.3).

Результаты расчетов представлены в таблице 7.10.

Таблица 7.10.

Таким образом, расчетное значение равно d=6,5Е+08/6,4Е+08 = 1,02.

По таблице критических точек распределения Дарбина-Уотсона для заданного уровня значимости , числа наблюдений п и количества объясняющих переменных т определить два значения: d_н- нижняя граница и d_в,- верхняя граница (таблица 7.11.).

Таблица 7.11

В нашем случае модель содержит 2 объясняющие переменные (m=2), нижняя и верхняя границы равны соответственно d_н = 1,19 и d_в = 1,55.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале 0 d d_н. Следовательно, в ряду остатков существует положительная автокорреляция.

Контрольные вопросы

1. Какие факторы влияют на величину стандартных ошибок выборочных коэффициентов регрессии?

2. Как связаны выборочные коэффициенты регрессии с коэффициентом корреляции величин х и у?

3. Какой показатель характеризует долю объясненной с помощью регрессии дисперсии в общей дисперсии зависимой переменной?

4. Из каких этапов состоит проверка качества оцененного уравнения регрессии?

5. Как рассчитывается и что показывает коэффициент детерминации R²?

6. В каких задачах эконометрики используется распределение Фишера?

7. Таблицы каких распределений используются при оценке качества линейной регрессии?

8. Какие показатели характеризуют независимость отклонений зависимой переменной от линии регрессии? Как осуществляется проверка этой независимости?

9. В каких случаях необходимо уточнение линейной регрессионной модели и как оно осуществляется?

10. Когда необходимо выведение из рассмотрения незначимых объясняющих переменных и добавление новых переменных?

11. Как вычисляются и что показывают коэффициент эластичности Э, средний коэффициент эластичности Э?

12. В каких случаях наблюдается положительная автокорреляция остатков?

13. Проверка качества полученных оценок параметров уравнения с использованием различных критериев.

14. Порядок использования инструментальных переменных

15. Фиктивные переменные и их назначение.

16. Каковы особенности практического применения регрессионных моделей?

Задания и задачи

Поиск по сайту: