IV. ИЗМЕНЕНИЕ

Получение сакрального треугольника со сторонами 3, 4, 5 путем пересечения трех полудиагоналей (√5/2) с демонстрацией геометрического доказательства этого. На рисунке также показаны отношения между процессом и структурой в Сакральной геометрии. Иррациональные корни, такие как √5, являются символами чистых архетипических процессов (порождение, слияние, трансформация и т.д.), в то время как отношения, выраженные постоянными целыми числами, представляют собой структуры, которые возникают для отображения принципов этих процессов. На данном рисунке пересечение двух линий иррациональных процессов (√5/2) дает треугольник Пифагора со сторонами 3, 4, 5, фигуры, на которой основывается рациональность нашей математической мысли.

Мы подчеркивали зафиксированное, неизменное качество отношений несоизмеримых корней к Единичности по мере их возникновения в геометрических фигурах. Это аналогично стабилизирующей роли, которую функция корня играет в росте растения. Но корень также является генератором изменений в континууме вечно движущихся, необратимых фаз, которые являются частью органической жизни.

Поскольку древние мыслили как геометры, для них не существовало какого-либо разделения между геометрией и естественной наукой, или космологией, или теологией. Согласованность математики с естественными законами геометрии напрямую привела к одной из главных философских посылок древней мысли: изменению. В этой главе мы исследуем, как древние методы расчетов раскрывают этот универсальный закон и основываются на нем.

В древней математике не использовалась десятичная система, с помощью которой можно было бы показать, чему численно равен несоизмеримый квадратный корень из 2 (1,4142135…). Это было более чем ограничение, обусловленное системой обозначения; идея иррационального числа, такого как это, была для древнего геометра логическим абсурдом. Для него сутью числа было состояние: материальность, постоянство, измеримость. Ratio – латинское слово (корень которого присутствует в английском «reason», что означает разум, рассудок) также означает «измерение»; иррациональное число являлось неприемлемым противоречием.

Два типа чисел, рациональные и иррациональные, олицетворяли два полностью различных состояния. Целые числа относились к проявленному и представляли собой обозначения, которые использовались в вычислениях. Каждый аспект феноменального мира виделся как неизменный, мгновенный момент, обусловленный взаимодействием взаимодополняющих компонентов, момент, пойманный между светом и тьмою, жизнью и смертью, днем и ночью, между образованием, разрушением и изменением. Приостановленное образование олицетворялось в древней геометрии треугольником Диофанта, который представляет собой прямоугольный треугольник, все три стороны которого равны целым числам: треугольник со сторонами 3, 4,5. Этот треугольник традиционно называется сакральным треугольником, «сакральный» означает неизменный или постоянный и, таким образом, символически относится к соединенным крестцовым костям позвоночника, которые позволяют принять неизменную позу в сидячем положении.

С другой стороны, иррациональные корни символизируют постоянство, созидательность действующей и противодействующей энергии. Эта огромная зреющая сила эманирует из непостижимой Единичности. А та, которую можно постичь, представляет собой не более чем кратковременную ограниченность этой Единицы, неопределимого Бытия в определенный момент «Так, необходимым образом все, что может быть определено, возникает из неопределимого всего».

Оформление страницы из Линдисфарнского Евангелия (приблизительно 700 год нашей эры), пропорции которого основаны на треугольнике со сторонами 3, 4, 5.

Но глубокое почитание, которое формировало мысль древних математиков, не препятствовало использованию этих принципов в расчетах. В нескольких математических текстах, предшествовавших Евклиду, дается метод, который позволяет выразить данные корневые отношения в виде последовательности отношений целых чисел. Эти отношения выстраиваются так, что приближаются поочередно то сверху, то снизу к значению несоизмеримого корня, т.е. в дополнение к этой изменяющейся структуре указанные последовательные отношения с каждым разом приближаются к значению корня все сильнее и сильнее. Выраженные таким образом корни сохраняют свое динамическое качество, или качество «процесса», и в то же время выявляют Принцип Изменения.

Теон из Смирны, философ-платоник и математик второго века нашей эры, в своем труде «Изложение математических предметов, полезных при чтении Платона», привел числа, которые называются боковыми и диагональными. Я здесь приведу полное рассуждение Теона по этой проблеме, которое при первом чтении покажется не имеющей смысла головоломкой. Тем не менее, если следовать численной и геометрической процедуре, то путаница исчезнет, и вто же время метод расчета станет яснее, а вместе с этим и его философский смысл.

Теон начинает свою демонстрацию с квадрата, взятого в качестве единичного, в котором, по его заявлению, и сторона, и диагональ равны 1. Это описание свидетельствует об эзотерической значимости, поскольку квадрат со стороной и диагональю, равными 1, для нашего понимания является абсурдом. Но это в точности соответствует мистическому восприятию Единичности, которой обладали древние: для них все аспекты или различия – относятся ли они к стороне квадрата или к его диагонали – являются одним целым и равны единице, пока они находятся в рамках изначальной единичности. Когда дело дойдет до обсуждения спиралей, мы увидим, что другие численные прогрессии также непременно начинаются с такой двойной единицы, ее полезность станет очевидной, если на какой-то момент мы последуем за Теоном и воспользуемся его мыслью.

Ниже приводится демонстрация Теона, которая будет следовать этой же концепции с последующей геометрической интерпретацией:

«Подобно тому, как числа потенциально имеют отношения треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и соответствующие прочим фигурам, так мы могли бы найти боковые и диагональные отношения, обнаруживающиеся у чисел в соответствии с порождающими отношениями, ибо по ним упорядочиваются фигуры. А так как над всеми фигурами согласно наивысшему порождающему отношению [т.е. отношению 1 к 2] начальствует единица, то и отношение диагонали к стороне отыскивается в единице. Возьмём, например, две единицы; положим, что одна из них есть диагональ, другая же – сторона, ибо единица, будучи началом всех вещей, потенциально должна быть и стороной, и диагональю. И пусть к стороне прибавляется диагональ, а к диагонали две стороны, ибо сколько дважды даёт в квадрате сторона, столько один раз диагональ.»

Это просто означает, что удвоенный квадрат стороны квадрата равен квадрату его диагонали. Он продолжает:

«Теперь большее становится диагональю, а меньшее – стороной: при первой стороне и диагонали квадрат единицы-диагонали на одну единицу меньше, чем дважды взятый квадрат единицы-стороны; ведь единицы находятся в равенстве, и единое на одну единицу меньше, чем двойное. Прибавим к стороне диагональ, то есть к единице единицу; итак, сторона будет иметь величину в две единицы; к диагонали же прибавим две стороны, то есть к единице две единицы; диагональ будет иметь величину в три единицы. Квадрат стороны будет 4, а квадрат диагонали будет 9; и 9 на единицу больше, чем удвоенный квадрат 2. Снова прибавляем к стороне 2 диагональ 3; сторона будет равна 5; а к диагонали 3 две стороны, то есть два раза по 2; диагональ будет равна 7. Квадрат стороны будет равен 25, а квадрат диагонали будет равен 49; и 49 на единицу меньше, чем двукратно взятое 25. Снова к стороне прибавь диагональ 7; получишь 12; к диагонали 7 прибавь дважды взятую сторону 5; будет 17. И квадрат 17, чей квадрат равен 289, на единицу полнее, чем двукратно взятый квадрат от 12 (288). И от дальнейшего прибавления, происходящего таким образом, будет происходить подобная же смена: двукратно взятый квадрат стороны то на единицу меньше, то на единицу больше, чем квадрат диагонали; при этом стороны и диагонали рациональны».[†]

Рабочая книга 4
Изменение

Поиск по сайту: