V. ПРОПОРЦИЯ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Четырехчленная дискретная пропорция может быть представлена графически подобными треугольниками, образованными пересечением горизонтальной и диагональной осей. Для иллюстрации пропорции A: B:: E: F или l6: 24:: 12: 18 = 2/3 отложим отрезки E = 12 и A = 16 на обозначенной горизонтальной оси из общего центра в точке O. Возведите перпендикуляр B из конца отрезка А, так чтобы получить любое желаемое пропорциональное 16 отношение, в данном случае В = 24. Отношение А: В = 2/3. Проведите диагональ из верхнего конца отрезка B так, чтобы она проходила через 0. Эта диагональ всегда будет пересекать перпендикуляр, опущенный из конца отрезка E, так, что отрезок F будет относиться к E в той же пропорции, что и B к A, таким образом, геометрически подтверждая, что когда имеются три члена четырехчленной пропорции, то можно всегда найти четвертый член.

Для того чтобы геометрически отобразить непрерывную трехчленную пропорцию, мы можем воспользоваться теоремой Фалеса, которая говорит, что любой угол, вписанный в полуокружность, будет являться прямым углом.

Возьмем отрезок ху и из его центра, находящегося в точке 0, проведем полуокружность, в которой ху будет диаметром. Из любой точки на ху восстановим перпендикуляр НМ, точка М которого лежит на полуокружности. Соединим точки М и x и точки М и I, так чтобы образовался прямоугольный треугольник хМу. Теперь мы имеем: ΔхМу ≈ ΔхНМ ΔхМу ≈ ΔМНу ΔхНт ≈ ΔМНу В соответствии с теоремой о подобных треугольниках мы находим, что перпендикуляр МН является средним геометрическим между отрезком хН и отрезком Ну. Поэтому эти три отрезка будут являться геометрическим представлением непрерывной трехчленной пропорции указанного ниже типа:

Не имеет значения, где мы восстановим перпендикуляр на диаметре, он всегда будет средним геометрическим между двумя отрезками диаметра.

Целью многих традиционных эзотерических учений являлась переориентация разума на восприятие состояния Единства через последовательность пропорциональных отношений. Пропорция формируется из соотношений, а соотношение представляет собой сравнение двух различных размеров, количеств, качеств или идей, и выражается формулой а: b. Соотношение затем образует меру различия: различие, на которое может реагировать, по крайней мере, один из наших органов чувств. Постигаемый мир, таким образом, создан из переплетенных друг с другом структур, о чем Грегори Бейтсон сказал: «различия, которые меняют дело». Таким образом, соотношение а: b является не только фундаментальным понятием для всех видов восприятия, оно также дает представление об одном из наиболее основополагающих процессов сознания, в котором символизирует сравнение двух вещей и выступает таким образом элементарной основой для концептуального суждения.

Пропорция, тем не менее, является более сложной конструкцией, поскольку она представляет собой отношение равенства между двумя соотношениями, иначе говоря, один элемент так относится ко второму, как третий элемент к четвертому: a так относится к b, как c относится к d, или a: b:: c: d. Пропорция отображает уровень способности к пониманию, который более тонок и основателен, чем непосредственная реакция на простое различие, которой является соотношение; пропорция в греческой философской мысли была известна под названием аналогия.

Когда наша мысль оперирует четырьмя элементами, т.е. двумя различными соотношениями, наша мыслительная деятельность относится к области проявленного, к миру природы, поскольку четыре является числом-символом, указывающим на конечный, рациональный, измеримый мир воспроизводимых форм.

Так, а: b:: c: d является общей формулой четырех соотносящихся друг с другом элементов. То же самое можно отобразить в численном виде: 2: 4:: 3: 6. Пифагорейцы называли эту процедуру мышления дискретной пропорцией четырех членов.

Если теперь мы ограничимся тремя членами, т.е. когда мы поднимемся на один уровень вверх, в сферу принципов или действий (троичность), то обнаружим, что расчет становится более строгим из-за уменьшения количества используемых элементов. Теперь один элемент так относится ко второму элементу, как второй относится к третьему: а: b:: b: с.

Здесь крайние члены объединяются посредством среднего, b. Греки называли эту пропорцию трехчленной непрерывной, и это свидетельствует о несомненном изменении в условном отображении воспринимаемых и концептуальных процессов. Никомах и другие греческие философы считали ее единственной, которую можно рассматривать как строго аналогическую. Именно познающее лицо (b) само формулирует равенство или идентичность между наблюдаемыми различиями (a и c). Познающее лицо уже не стоит в стороне от сравнительной деятельности как в случае с четырехчленным дискретным или дизъюнктивным образом действий, при котором постигаемое различие наблюдается в виде разделенных соотношений или отличительных особенностей.

Наверное, следует привести пример, который будет нам полезен. Наше познание мира осуществляется благодаря нашим органам восприятия, которые чувствительны к различиям в структурах волновых частот, окружающих и наполняющих нашу область осознаваемого. Мы отличаем красную чашку от зеленой скатерти только потому, что посредством наших зрительных нервов в мозгу формируется волновой образ, который соответствует частотным спектрам, испускаемым чашкой и скатертью. Само познающее лицо, таким образом, представляет собой необходимый связующий элемент при регистрации изменений внешних частотных спектров, при интерпретации и выделении их как объектов, как чашки и скатерти.

Многие философы говорят о достижении состояния понимания, при котором индивидуум постоянно отдает себе отчет об указанной интеграции и настройке, происходящих между видимым вибрационным полем и внутренним полем восприятия. Такой вид осведомленности о восприятии, которую мы сравниваем с трехчленной непрерывной пропорцией, Шри Ауробиндо называет «познанием через отождествление» и рассматривает его как важный этап в процессе духовного развития: при постижении внешнего источника познания мы признаем, что он непрерывным образом связан с нашими внутренними способностями восприятия и познания и что мы постигаем именно эту связь, а не сам внешний объект.

Таким образом, объективный мир находится во взаимной зависимости от физического, ментального и физиологического состояния постигающего индивида и, следовательно, будет изменяться при изменении внутреннего состояния этого индивида. Можно ощутить, как внешний объект выделяется из совокупности нашего внутреннего пространства, объединяя, таким образом, восприятие себя и мира.

Можно ли сказать в таком случае, что трехчленная пропорция в максимальной степени близко подошла к восприятию единства с помощью мышления в терминах пропорциональности? Ответ на этот вопрос будет отрицательным, поскольку имеется одно и только одно пропорциональное деление, которое возможно посредством двух членов. Это происходит тогда, когда меньший член так относится к большему члену, как больший к сумме меньшего с большим. Это записывается следующим образом: а: b:: b: (а + b). Самый большой член (а + b) должен являться целостностью или единством, составленным из суммы двух других членов.

Исторически этой уникальной геометрической пропорции из двух членов было дано имя «Золотая пропорция», и она обозначалась 21-ой буквой греческого алфавита, буквой фи (φ), хотя она и была известна культурам, гораздо старше греческой.

Существуют два абсолютно разных способа рассмотрения этой, имеющей первостепенное значение, пропорции в отношении Единичности. Первый имеет место тогда, когда больший член (в нашем случае (а + b)) больше 1 или единицы измерения. Второй случай имеет место тогда, когда больший член (а + b) равен единице измерения или 1 (в виде формулы это выражается следующим образом: а: b:: b: 1) Каждый из этих случаев дает важную характеристику φ.

То, чем мы займемся в этой главе, главным образом представляет собой описание в терминах теории множеств всех возможных типов геометрических пропорций. Сначала мы выделим два основных множества геометрических пропорций: множество четырехчленных и множество трехчленных пропорций. Внутри трехчленной непрерывной пропорции мы выделим специальное подмножество, в котором третий член равен сумме первого и второго членов: а: b:: b: (а + b), так что в действительности в трехчленной пропорции имеются только два члена, а и b. Она называется φ, Золотой пропорцией. Тот факт, что трехчленная пропорция создается из двух членов, является ее первой отличительной чертой и аналогией первой тайне Святой троицы: Троица, которая есть Два.

На первом рисунке (см. ниже) два сравниваемых отрезка линии разделены таким образом, что а: b:: b:а + b или b/а = φ. В первом случае показана пропорция, в которой вся линия больше Единичности. Единичность определяется как отрезок о, а отрезок а, продолжение отрезка о, примыкает к нему, образуя всю линию а + b. В пропорциональном мышлении отсутствуют фиксированные количественные значения, имеются только зафиксированные отношения. Количественная величина может изменяться, но конфигурация отношений остается той же самой. В данном примере мы зададим, чтобы b = 1 для того, чтобы быть уверенными в том, что целое больше единицы, и что оно представляет собой сумму единицы и другого члена.

Первый член = а	или
Второй член = b=1
Третий член = b + а = а + 1

Имеются многочисленные примеры такого типа пропорции, где третий член (а + b) больше первого: в прогрессии φ (Золотого сечения), а также в фундаментальной пропорции √2:

или

Эти два примера взяты из семейства трехчленных геометрических пропорций, в которых третий член представляет собой сумму единицы и другого члена и поэтому он больше единицы.

Отрезок линии содержит целостность, Первый случай: целое больше единицы. Второй случай:целое ровно единице.

единицу. а + b а + b = 1 + а а + b = 1

На рисунке, отображающем второй случай, мы присвоили значение единицы целому, а не части (как в первом случае), так что теперь результаты деления целого должны быть меньше 1. Поступая таким образом, мы находим вторую и совершенно уникальную характеристику пропорции φ, которая является единственным геометрическим разделением Единичности. Этот метод присвоения значения является типичным для многих задач, найденных в старейших известных математических текстах из Египта и Вавилона, он был основным методом в древних математических вычислениях. В данном случае

Первый член = а = 1 – b

Второй член = b = 1 – а

Третий член – а + b – 1

Таким образом,

Приведенные выше алгебраические выражения полностью показаны в геометрическом виде в Рабочей книге 5. В данном случае у нас корень из a равен корню из b², так что а и b относятся друг к другу так, как корень относится к квадрату. Это требует, чтобы член а + b = 1 – третий член геометрической пропорции, выступал в данном случае в виде суммы квадрата и его корня = 1. φ является уникальным разделением, которое удовлетворяет этому свойству: 1/ φ + 1/ φ ² = 1. Этим заканчивается математическое преобразование в Троицу: «Троица, которая есть Двоичность, которая есть Единичность». Это представляет собой окончательное сведение пропорциональной мысли к причинно-обусловленной сингулярности.

Если мы вновь воспользуемся пропорцией как моделью восприятия, основанного на распознавании различий, мы обнаружим в нашей уникальной Золотой пропорции, не выходящей «за пределы» Единичности, случай, когда постигаемое различие (то, которое мы познаем как объект) и лицо, познающее этот объект, представляются как содержащиеся внутри непрерывного осознания всеобъемлющей Единичности: а: b:: b: 1. Такое состояние восприятия соответствует цели динамической медитации.

Золотая пропорция представляет собой постоянное соотношение, полученное из геометрического отношения, которое, как и другие постоянные этого типа, является «иррациональным» в числовом смысле. Поэтому я попробовал не представлять сразу же Золотое сечение в числовом виде, т.е. в виде φ = 1,6180339 … или φ = (√5 + 1)/2, но вместо этого я показал, что, прежде всего и главным образом, это – пропорция, а не число, пропорция, на которой основывается практика познания (логос).

В каком-то смысле Золотая пропорция может рассматриваться как надрациональное или трансцендентное. Она фактически является первым проявлением состояния Единства, которое представляет собой единственно возможную созидательную двойственность внутри Единичности. Можно было бы сказать, что она является наиболее сокровенным отношением, которое может возникнуть между пропорциональным существованием – вселенной – и Единичностью, являющейся изначальным или первичным разделением Единицы. По этой причине древние называли ее «золотой», идеальным разделением, а христиане связывали этот символ пропорциональности с Сыном Господа.

Можно было бы спросить: почему Единичность не может просто разделиться на две части? Почему бы не иметь пропорцию из одного члена: а: о? Ответ заключается в том, что при равенстве отсутствуют различия, а без различия отсутствует воспринимаемая вселенная, поскольку как говорят Упанишады: «Знаем ли мы об этом или нет, но все вещи начинают свое существование с того момента, когда они начинают постигаться». В статическом эквациональном утверждении одна часть обнуляет другую.

Ассиметричное разделение нужно для того, чтобы создать динамику, которая необходима для развития и расширения Единичности. Поэтому φ -пропорция является идеальным разделением единства: она созидательна, хотя вся пропорциональная вселенная, возникшая благодаря ей, взаимодействует сама с собой и в прямом смысле содержится в себе, поскольку ни один член первоначального разделения не выходит, так сказать, за рамки непосредственной гармонии с первоначальным разделением Единичности. Это является главным различием между разделением Единичности на корень из 2 и ее разделением на φ, и каждая указанная пропорция является геометрической. Как демонстрирует геометрия последней, через создание √2 мы немедленно выходим за рамки первоначального квадрата (см. Рабочую книгу 1). Она знаменует начало бесконечной, вечно расширяющейся прогрессии и разрастания, уводящего все дальше и дальше от первоначальной Единичности. Нет возможного способа создания с помощью √2 геометрического внутреннего разделения Единичности. Деление на φ, с другой стороны, предоставляет модель эволюции, которая своей целью имеет образ совершенства первоначальной Единичности.

Прогрессия Золотого деления:

… и т.д.

Прогрессия, образованная делением на √2:

1: √2:: √2: 2 … и т.д.

Для анализа этих двух прогрессий мы должны вспомнить несколько основных идей грамматики нашего геометрического языка. Фигура квадрата, такая как φ ², отображает первый план проявленного: формирование идеи или образа, в котором идея впервые становится постижимой. Фигура куба, такая как φ ³, отображает то же самое понятие, идею или образ в его проявленной физической объемной форме. Величины, обратные к указанным (1/ φ ²,1/ φ ³), представляют собой те же принципы, содержащиеся в Единичности; т.е. они являются частицами или внутренними частями Единицы, отображающими стадии данных уровней проявленности, которые предшествуют образованию понятий. Давайте также помнить, что Единица является символом Бога. Золотое деление является единственной непрерывной пропорцией, дающей прогрессию, в которой члены, олицетворяющие внешнюю вселенную (φ ², φ ³), являются точным, непрерывно-пропорциональным отражением внутренней прогрессии (1/ φ ², 1/ φ ³) – созидательной грезы Бога. Прогрессия √2, наоборот, является строго порождающей силой, функционирующей порождающим образом только на внешнем плане.

Давайте вновь противопоставим качества этих двух геометрических прогрессий – φ и √2 – как моделей эволюции, в которых прогрессия выступает в роли подходящей аналогии для эволюционного развития, рассмотрев на этот раз фазу эволюции, которая переходит от метафизического, пропорционального принципа к физическому миру. Золотая пропорция обнаруживает не количественное, статистическое развитие (как это имеет место в модели √2, которой соответствует адаптация в духе Дарвина), но, вместо этого, эволюцию, которая руководствуется изнутри, возвышение первоначальных качеств Божественного, формирование идей, непосредственно переходящих от абстрактного к конкретному или видимому; где проявленный мир является образом Божественного, точным воспроизведением или сыном Бога (Единичности). Золотая пропорция является неоспоримым свидетельством, представленным в виде пропорции, возможности осознаваемой эволюции, а также эволюции сознания.

Святой Иоанн писал о созидательном мгновении или первоначальном разделении: «Вначале было Слово (или по-гречески логос, что означает трехчленную пропорцию)… и Слово было с Богом (фразу «с Богом» можно также читать как «в Боге»)… и Слово было Бог». Посмотрев внимательно на эти три фразы, можно обнаружить, что они интуитивно описывают геометрические предпосылки Золотой пропорции:

В начале было Слово,

И Слово было с Богом [в Боге],

И Слово было Бог.

Рабочая книга 5
Золотая пропорция

Мы начнем наш поиск геометрического разделения, которое требует только двух членов, с помощью двух геометрических идей, которые уже нам знакомы: прямоугольного треугольника, вписанного в полуокружность (теорема Фалеса), и √2 (Рабочая книга 1), который в данном случае будет выступать радиусом этой полуокружности. Как показано на стр. 45, мы можем использовать √2 в качестве радиуса, для того чтобы разделить линию на отрезки а, b, с в соответствии с трехчленной геометрической пропорцией.

Рисунок 5.1 а. Разделим внутреннюю поверхность квадрата ABCD дугами, пересекающими линию основания этого квадрата. На этой линии основания мы получим пропорциональные соотношения. Из центра в точке C радиусом СА проведем дугу до пересечения ее с продленной линией основания в точках E и G. Аналогичным образом продлим линию основания до пересечения с дугой, образованной радиусом DC, получив отрезок DF. Воспользовавшись теоремой о том, что угол, вписанный в полуокружность (диаметр EG), является прямым, соединим точку А с точками Е и G, так чтобы получились три подобных треугольника:

ΔEDA ≈ ΔEAG

ΔEAG ≈ ΔАОС

ΔADG ≈ ΔEDA

Поэтому а: b:: b: с, и если а/b = b/с, то b² = ас.

В нашем случае с = 2b + а и а: b:: b: 2b+a.

Указанные величины равны: ED = а = √2 – 1
АВ = b=l DG = с = 2 – √2

С А = √2

Рисунок 5.1 b. Мы можем видеть, что деление посредством диагонали, показанное на рис. 5.1 а, дает значение для b, которое в два раза больше нужного отношения: мы имеем

по сравнению с

Следующим логичным шагом было бы попытаться использовать половину диагонали в качестве радиуса описываемой полуокружности.! Это строится следующим образом:

Проведите радиусом, равным полудиагонали АХ квадрата ABCD, дугу так, чтобы получить точки Е и F на продленной в обе стороны линии основания квадрата. По теореме Фалеса

а: b:: b: с.

с = а + b

следовательно а: b:: b: a + b

Таким образом мы получаем значения: сторона квадрата

AB = b – 1

ХА = √5/2

ED

DF

На основании значений, полученных выше, имеем

ΔDAF ≈ ΔEAD

Поэтому a/b = b/(a+b)

и b² = а(а + b)

b² = а² + аb

Из указанного выше очевидно, что у нас есть только одно возможное разделение какой-либо единицы или целого в соответствии с трехчленной геометрической прогрессией, которая использует только два члена: крайний член = а и средний член = b.

Эта пропорция была названа «разделением на крайний и средний члены» и является той, которую греки назвали φ (фи).

Пусть b = 1, для того чтобы выразить эту пропорцию в виде разделения на 1 или единичность.

Тогда b² = a² + ab

Что аналогично 1² = a ²+1 a

1 = a ² + а

Подставив b = 1, получим а² + а = 1. Это означает, что а² и а являются частями 1, и выражение должно быть записано в обращенном виде:

Рисунок 5. 1 с. Как показывает наше уравнение, выражение а² + а удовлетворяет определению крайнего и среднего разделения Единичности. Поэтому мы можем вместо это разделения подставить греческий символ φ:

Давайте теперь пронаблюдаем за той же идеей на примере реальных геометрических площадей. (Миллиметровая бумага будет нам здесь полезна.) Если b = 1, тогда первоначальный квадрат равен Единице. Из центра в точке D проведите дугу ЕС. Из центра в точке С проведите дугу FH.

Проведите GJ параллельно DC, так чтобы образовался прямоугольник DCHG и квадрат CFJH.

Площадь DCHG

Площадь CFJH

Таким образом мы геометрически доказали единственное разделение Единичности на крайний и средний члены с использованием геометрических площадей: DFGJ = ABCD = 1.

Рисунок 5. 1d. Сложив прямоугольники DCHG и CFJH, мы получим суммарный прямоугольник DFJG со сторонами 1/ φ и 1 + 1/ φ и площадью равной 1. Поэтому

Площадь DFJG

Площадь DFJG

DF=1/(1/φ) = φ

но DF = 1 + 1/ φ

так что φ = 1 + 1/ φ

Рисунок 5. 1 е. Поскольку φ = 1/ φ +1, то сторона AG прямоугольника ABHG = 1 + 1/ φ = φ. Площадь ABHG = 1 x φ=φ.

ABHG является Золотым прямоугольником.

Рисунок 5.1 f.

площадь BKFC = 1 x 1/φ = 1/φ

площадь AKJG = φ х φ = φ ²

Но площадь AKJG = ABCD + BKFC+ CFJH + DCHG

= (1 + 1/ φ)+ (1/φ ²+1/φ)

= (φ) + (1) (при подстановке)

площадь AKJG = φ ² = φ + 1

φ ² = φ +1

Эта иллюстрация заимствована из Философской геометрии, автором которой является Андре ван ден Брек.

Рисунок 5.2. Геометрически Золотая пропорция φ неразрывно связана с функцией √5 и пятиугольником, которые мы обсуждали в Рабочей книге 3. Будет полезно понять геометрию, в которой особое значение играет это отношение. Ниже приводится метод порождения Золотой пропорции из √5 и прямоугольника φ сторонами, относящимися как 1: 2.

Начертите двойной квадрат и продлите разделяющую линию EF. Из центра в точке G радиусом GA, равным половине диагонали, начертите дугу, пересекающую EF в точке Н.

GE = 1/2

GH=GA = √5/2

FG или 1,6180339… – коэффициент Золотой пропорции.

Таким образом Золотой прямоугольник JBFH образуется с помощью диагонали √5 прямоугольника, образованного двумя единичными квадратами.

Рисунки 5.3 а и 5.3 b. Отношение φ к √5 и пятиугольник. Из квадрата ABFE построим НК = √3. Из центров в точках Е и F радиусом FN проведем дуги HN и KN. Из центров в точках Е и F радиусом FB проведем дуги, пересекающие дуги HN и KN в точках 0 и Р соответственно.

НК = √5

HE + FH = √5 – 1

НЕ = FK = (√5 – 1)/2

EN = ЕК = (√5 – 1)/2 + 1

EN =(√5 + 1)/2

При измерении с помощью циркуля можно видеть, что точки О, N и Р, а также две точки на линии основания квадрата Е и F образуют группу из пяти равноудаленных точек. Соединим точки F, Е, О, N, Р и получим пятиугольник или Пентагон.

Это построение обнаруживает важное отношение в пятиугольнике: сторона пятиугольника относится к ее диагонали как 1: (√5 + 1)/2 или 1: φ, что представляет собой Золотое сечение.

Рисунки 5.4 а и 5.4 b. Эти два рисунка не носят ключевого характера для понимания φ, но более увлеченные читатели найдут их полезными.

Рисунок 5.4а. Нарисуйте круг с координатными осями. Не изменяя раствор циркуля, из центра в точке S начертите дугу, пересекающую окружность в точках 1 и 2. Соедините эти точки для определения средины радиуса окружности в точке 3. Из точки 3 проделайте построения, указанные в Рабочей книге 3, рисунок 3.3. Когда радиус равен единице, сторона вписанного пятиугольника равна по теореме Пифагора (1 + 1/ φ ²) = 1,17557.

Рисунок 5.4 b. Начертите диагональ ЕВ и высоту AT. Для численного определения высоты пятиугольника у нас есть прямой треугольник ОТС с основанием ТС = S х 1,17557, что составляет половину стороны пятиугольника = 0,587785, и гипотенуза треугольника ОТС = ОС = 1, являющаяся радиусом окружности. По теореме Пифагора:

ОT² = 1 – 0,34549 = 0,65451

ОT = √0,65451 = 0,80901 = φ/2 Поэтому высота пятиугольника AT = 1,809.

Мы доказали в примере 5.3 а, что отношение между стороной пятиугольника и ее диагональю составляет 1: φ. В случае, когда радиус равен 1, а сторона = 1,17557 (рисунок 5.4 а), диагональ = 1,175574/ φ = 1,90211.

При радиусе = 1 или диаметре = 2 диагональ ЕВ = √ (1 + φ ²) = 1,90211, а высота AT = 1,809.

Диагональ пятиугольника является средним геометрическим между диаметром описанной окружности и высотой пятиугольника.

2/1,90211 – 1,90211/1,809 = 1,05147

Отношение 18/19 представляет собой интерес, поскольку оно является одним из отношений, используемых для определения полутона в музыке, а также является отношением, которое определяет лунный и солнечный год в цикле затмений. Древние египтяне основывали свои критерии роста человека на этом отношении, отсчитывая 18 единиц до бровей и 19 – до макушки головы.

Рисунок 5.5. Когда сторона пятиугольника равна Единичности.

АВ = 1

EG = FB – 1

ЕВ = φ (1,618)

GB = φ – 1 = 1/ φ (0,618)

GI=FG =1 – 1/ φ

FG = 1/ φ ² (0,382)

Но JG/FG = GB/AB

JG: 1/ φ ² = 1/ φ

таким образом, JG х φ ² = 1/ φ

JG = 1/ φ ³ (0,236)

Прекрасным упражнением является расчет тех же отрезков прямой, но начиная φ стороны АВ = 1,17557.

В этой Рабочей книге я попытался вдохновить читателя на постижение паутины изменяющихся взаимоотношений, которые окружают Золотое деление, φ. Вместе с геометрическими иллюстрациями я предоставил современные алгебраические и численные формы. Нашим аргументом является не замещение наших современных технологий древним геометрическим методом, но обоснование нашего языка чисел в визуальном пространственном мире, из которого он возник.

√ 5и прямоугольник с такой же диагональю, образованный двумя квадратами, неизменно порождает или обнаруживает последовательность лросюрций, связанных с Золотым сечением или Золотой пропорцией.

Поиск по сайту: