VII. КВАДРАТУРА КРУГА

В литературе по сакральной геометрии приводится ряд примеров, и все они относятся к одной идее, известной под наименованием «квадратура круга». Она представляет собой упражнение, в котором с помощью только обычного циркуля и линейки нужно найти способ построения квадрата, периметр которого должен быть равен длине окружности заданного круга или площадь которого должна быть равна площади заданного круга. Поскольку круг является несоизмеримой фигурой, основанной на π, можно нарисовать квадрат, только приближенно равный ему. Тем не менее, квадратура круга имеет большое значение для геометра-космолога, поскольку для него круг представляет собой чистое, не-проявленное дух-пространство, а квадрат является проявлением воспринимаемого мира. Когда между кругом и квадратом можно установить хотя бы приблизительное равенство, бесконечность может отобразить свои размеры или качества посредством конечного.

Рабочая книга 7
Квадратура круга

На последующих страницах мы понаблюдаем за квадратурой круга, которая, как я знаю, содержит немало символических ключей для постижения сотворения вселенной. Мы начнем с построения окружности, помня при этом, что она является геометрической метафорой однородного недифференцированного пространства. Как и на других наших диаграммах, это единство-пространство должно быть разделено на два с целью осуществления сотворения. Итак, начнем с разделения нашего единства-пространства на две части, с разделения, которое происходит внутри изначальной единичности.

Рисунок 7.1. Начертите круг с центром в точке О и радиусом OA = 1. Начертите диаметры АА' и ВВ', так чтобы они пересекались под прямым углом. Из центров, расположенных на диаметре ВВ', начертите две окружности, радиус каждой из которых равен половине радиуса исходной окружности. Из точки А проведите дугу NM, которая должна касаться окружностей двух внутренних кругов. Проделайте то же самое из точки А'. Постройте квадрат АСВ'О на радиусе OA исходного круга.

Дуга, радиус которой равен полудиагонали этого квадрата, указывает на то, что радиус АЕ дуги NEM равен φ, а дуги NEM и NDM делят радиусы АО и А'О в соответствии с Золотой пропорцией в отношении 1/φ и 1/ φ².

При таком делении единого круга на два, которое служит основой для традиционного символа ян-инь, возникает интересный парадокс. Две длины окружности внутренних кругов вместе равны длине окружности большого круга, но площадь этих двух кругов составляет только половину площади изначального круга. Единица стала Двойкой. И индусская мифология, и средневековая европейская алхимия дают нам ту же метафору для постижения таинства того, как однородная единичность становится поляризованной дуальностью: когда однородное или тщательно перемешанное молоко оставляют на воздухе при средней температуре, в нем начинается кислотное брожение, которое свертывает молоко в сгущенные, жирные шарики, которые плавают в водянистой сыворотке. Таким образом, мы имеем разделение взаимно отталкивающихся форм, которые возникают из общего источника. Мифологически этот естественный процесс представлен в истории Каина и Авеля, Сета и Хоруса, Индры и Асуров, и т.д., во вселенском антагонистическом взаимодействии противоположностей, что и образует жизнь: это и есть инь и ян.

Когда мы геометрически формируем вместилище для двух кругов, рисуя дуги из каждого конца вертикального диаметра, так чтобы они касались двух кругов и так чтобы верхняя и нижняя дуги заканчивались на горизонтальном диаметре, мы видим, что эти две дуги делят вертикальный радиус OA (который считается равным 1 или представляет собой единичность) в Золотой пропорции как 1/ φ и 1/ φ². Золотое сечение, будучи наиболее важным делением Единичности, здесь выступает аналогом невидимого «провокатора»: вселенской сжимающей или свертывающей силы. Также очевидно, что радиус этой окружности равен 1 + 1/φ, что равно φ.

Пузыреобразную форму, охватывающую первичную дуальность (аналогично мандорле из Рабочей книги 2, но в других пропорциях), можно найти везде в Египте в качестве символа Ра, солнечной, дающей жизнь силы, испускаемого Слова, рта, который называет имена богов, составляющих единицу. Рот Ра также напоминает форму вибрирующей струны (см. стр. 22).

Рисунок 7.2. Дуга Ра, которая проходит по касательной к двум внутренним окружностям, пересекает внешний круг единичности точно в той точке, в которой начинается сторона правильного пятиугольника, вписанного во внешний круг: это точка J, если смотреть влево от верхней точки вертикального диаметра, и точка F, если смотреть вправо от той же верхней точки вертикального диаметра. Кроме того, поместив циркуль в нижнюю точку вертикального диаметра и нарисовав дугу, касающуюся нижних частей двух внутренних окружностей, мы можем получить точное местоположение третьей стороны того же вписанного пятиугольника, оканчивающегося в точке Н слева и в точке G справа, там где указанная дуга пересекает внешний круг. Затем, просто соединив две верхних стороны пятиугольника с каждым концом стороны, лежащей в его основании, мы получим правильный, вписанный в окружность пятиугольник.

Таким образом, первоначальное сжатие или разделение на две части лежит в основе получения конечного результата: пятиугольника, символа жизни, с его пятеричной симметрией, которая обнаруживается только в живых организмах. Он представляет собой фигуру, приписываемую физическому и витальному аспектам человека, который посредством пяти чувств воспринимает мир природы и, таким образом, побуждает его к существованию. Звезда пятиугольника, образованная диагоналями, проведенными внутри его, символизирует преобразованное или усовершенствованное человечество, поскольку все отрезки прямых этой звезды получаются в соответствии с Золотой пропорцией (см. стр. 52).

Первоначальное разделение, которое одновременно дает пропорции пятеричной симметрии, несет с собой телеологическое послание о Жизни как о силе непостоянства и возвращения к свету, мы видим это в растениях, которые при своем росте обращаются к источнику излучения, символом которого они и являются. Такое преображение с геометрической точки зрения возникает в момент начала сотворения, когда Единица становится Двойкой. Теперь, когда этот принцип включен в нашу геометрическую метафору сотворения, мы можем перейти к символу квадратуры.

Указанная на рисунке средневековая квадратура круга, построенная с помощью пентакля (пятиконечной звезды), символизирует достижение гармонии между интуицией (обозначенной пентаклем) и разумом (обозначенным квадратом) или идею о том, что бесконечность (круг) информационно взаимодействует с человеческим интеллектом посредством законов гармонии.

Рисунок 7 .3. Впишите исходный круг в квадрат. Затем начертите окружность, в качестве центра которой следует использовать центр исходного круга, а за радиус следует взять расстояние до вершины мандорлы. Длина окружности полученного круга будет равна периметру квадрата, который касается исходной окружности.

Рисунок 7.4. Данный рисунок основывается на указанных ниже соображениях:

Радиус окружности, описанной вокруг рта Ра, по теореме Пифагора равен:

φ ² = 1 + r²

r = √ φ – 1

r = √ φ

и длина окружности равна 2 π √ φ, где √ φ = 1,272... и

π = 3,142….

2 π √ φ = 7,993 для длины окружности или приблизительно 8.

Мы знаем, что сторона квадрата, описывающего исходную окружность, радиус которой равен 1, составляет 2. Таким образом, периметр этого квадрата равен 8 и поэтому приблизительно равен длине окружности круга, составляющей 7,993.

Это дает величину числа π, которое использовалось древними египтянами для постройки Великой пирамиды:

2 π √ φ = 8

π √ φ = 4

далее,

√ φ = 4/ π = 1,272…

4√ φ = π = 3,1446056…

Тогда как истинная величина равна 3,1415926… Практически точное значение числа π с использованием Золотого сечения составляет φ² х 6/5 = 3,1416404… Отношение5:6 или 1: 1,2, между прочим, является функцией, которая связывает φ с π, а 1,2 соответствует отношению 12 к 10. Двенадцать представляет собой число кругов космического времени, оно является числом завершения, и в виде отношения 6 к 5 оно связывает шестиугольник с пятиугольником.

Но вернемся к нашей фигуре: приняв четверть стороны квадрата (эта величина равна радиусу исходной окружности) за Единицу, мы можем определить эти величины:

рп = √5/2 = 1,118… = 1/2 + 1/ φ

В'п = В'К = A'M = φ = 1,618…

OD = Оп= 1/φ = 0,618…

AD = 1/φ² = 0,3819…

ОМ = √ φ = 1,2720196…

AF, НС = √(1 + 1/φ²)= 1,1756 = сторона пятиугольника

DM = √2 = 1,4142135…

Рисунок 7.5. Следующей нашей целью является построение квадрата, равного площади изначального круга. Впишите три дополнительных пятиугольника в круг, разделите пополам одну сторону пятиугольника, отметьте соответствующую точку на окружности, затем разделите пополам полученные сегменты. Эта операция дает начальные точки для трех новых пятиугольников, так что общее количество вершин составит 20.

Для нас это может служить символом сущностной пятеричной симметрии, расцвета принципа жизни в его возврате к свету, который проявляет себя через четверичную симметрию элементов природы: земли, воздуха, огня и воды.

Рисунки 7.6, 7.7, 7.7а. Если мы начнем с точки А, в которой первый пятиугольник пересекает вертикальную ось, и проведем прямую линию через вторую и пятую вершины пятиугольника до пересечения с вертикальной и горизонтальной осью (PQ), то получим первую сторону квадрата. Продолжая вычерчивание аналогичным образом, мы получим линии OR, RS и SP. Используя геометрические методы расчета на пятиугольнике и его диагонали, приведенные в Рабочей книге 5, мы можем определить значения, приведенные на Рисунках 7.7 и 7.7а, и таким образом убедиться, что новый квадрат будет приблизительно равен по площади поверхности первоначального круга. Половина диагонали круга ОР = 1,26006, а сторона квадрата PQRS = 1,26006 х √2 = 1,7819938.

Этот способ представляет собой квадратуру, которая взята из конструкций Средних веков и которая не очень точна с математической точки зрения, но с символической точки зрения она обладает большой простотой и красотой. При заданных значениях сторона будет равна 1,7819938, тогда как сторона более точного квадрата будет равна 1,7724397, что дает разницу в 0,0095548, при которой число сбудет равно3,17.

Хождение вокруг камня Каабы (что значит «куб») в Мекке является символическим ритуалом, относящимся к концепции Квадратуры круга.

Рисунок 7.8. Объединив сделанные рисунки, мы увидим, что мандорла или рот Ра, на котором образуется первоначальный абстрактный (линеаризованный) квадрат, не касается, а скорее «излучает» вторую проявленную квадратуру (ту, которая относится к поверхности). Здесь, на одной диаграмме, мы видим классическое геометрическое соотношение, образованное между кругом и квадратом, между духовным и материальным мирами. В следующем разделе мы обсудим то же самое отношение, но относящееся к объему: отношение между сферой и кубом.

VIII. ОПОСРЕДОВАНИЕ:
ГЕОМЕТРИЯ СТАНОВИТСЯ МУЗЫКОЙ

Мы рассматривали деление единичности с помощью двух идей: функции корня (порождающий корень из 2 и возрождающий корень из 5), а также идеи о трех- и четырехчленной пропорциях, которые вытекают из указанных выше корней. В этом разделе мы объединим вместе идеи пропорции и корней, для того, чтобы до конца понять взаимоотношение между ними и вто же время показать, как эта окончательная геометрия становится основанием для музыкальной гармонии. Будем надеяться, что это прольет свет на слова Гете: «Геометрия – это застывшая музыка».

Наилучшим способом добиться этого является способ, который считается краеугольным камнем древней философской математики – наука опосредования, которая представляет собой простое наблюдение за функциями средних членов. Используя нашу дискуссию о трех- и четырехчленных пропорциях (стр. 44) в качестве отправной точки, давайте сначала обратим внимание на предупреждение Платона о том, что сравнения, основанные на четырех элементах, т.е. «разрывные четырехчленные пропорции», представляют по своей природе то, что он называет «конкретным знанием», которое носит уязвимый характер и открыто для оспаривания и произвола. Противоположностью этому является то, что он называет «основополагающим знанием», которое не является простым накоплением фактических или даже концептуальных данных, относящихся к объектам или явлениям, а заключается в осознании метафизических конструкций, посредством которых разум обладает способностью к постижению. Законы, которые управляют созиданием вещей, являются теми же законами, что и те, которые позволяют постичь эти вещи, а основополагающее знание представляет собой понимание этих законов. Такое знание можно получить, как говорит Платон, посредством изучения опосредования, которое представляет собой объединение двух крайних членов с помощью одного среднего члена. Мы рассмотрели это на примере с привлечением соотношений, состоящих из трех членов: а: b:: b: с, которые мы называем геометрической пропорцией, а греки называли логосом. Но этот простой пример представляет собой не только трехчленную пропорцию, так как наука опосредования изучает все суждения о пропорциональности, возможные между тремя членами не только посредством прямого пропорционального взаимоотношения, но также посредством взаимоотношений между разностями.

Опосредованную пропорцию можно определить как группу из трех неравных друг другу чисел, в которой разности между этими числами так относятся друг к другу, как одно из этих чисел относится к самому себе или к одному из двух других чисел.

Это странное краткое математическое «парадоксальное высказывание» содержит в себе формулу для трех основных средних: арифметического, геометрического и гармонического.

Давайте шаг за шагом рассмотрим это определение трех средних. Опосредованная пропорция образуется из группы любых трех чисел, в которой а больше чем о, а b больше чем с [а > b > с), такой, что «…разности между этими числами», т.е.

а – b (первая разность)

и b – с (вторая разность)

«…соотносятся друг с другом»

а – b: b – с

«…так, как одно из этих чисел относится к самому себе» (случай 1):

a – b: b – с:: a: a, b: b, с: с

«… или как одно из этих чисел к одному из оставшихся чисел»:

(случай 2) a – b: b – с:: а: b или

(случай 3) а – b: b – с:: а: с.

В случае 1 выражение, решенное для среднего члена о, принимает вид b = (а + с)/2, что является общей формулой для арифметической пропорции. (Последовательность 3, 5, 7 представляет собой арифметическую прогрессию, арифметическое среднее которой b = 5.

В случае 2 выражение, решенное для среднего члена о, принимает вид V=ac или b = Vac, что является общей формулой для геометрической пропорции. Выражение 4, 8, 16 представляет собой геометрическую прогрессию, геометрическое среднее которой b = 8.

В случае 3 средний член о принимает вид b = 2ас/(а + с), а это является общей формулой для гармонической пропорции. Выражение 2, 3, б представля-етсобой гармоническую прогрессию, гармоническое среднее которой b = 3.

Такая формулировка опосредования дает нам общую формулу для всех наших основных математических операций. Арифметическая пропорция заключает в себе закон сложения и обратный ему (вычитание), а также описывает взаимоотношение, которое дает естественная последовательность количественных числительных: 1, 2, 3, 4, 5, 6… и т.д. Геометрическая пропорция заключает в себе закон умножения и обратный ему (деление) и описывает взаимоотношение, которое дает любая геометрическая прогрессия. Как мы уже говорили, сложение и умножение являются математическими символами для моделей роста. Гармоническое среднее получается при объединении первых двух; оно образуется путем умножения каких-либо двух крайних членов пропорции (а, с) с последующим делением полученного произведения на их среднее или арифметическое среднее (а + с)/2. Например, пусть у нас есть два крайних члена 6 и 12, тогда произведение 6 и 12 = 72, арифметическое среднее 6 и 12 равно 9, и 72-=-9 = 8, так что 6, 8, 12 представляет собой гармоническую пропорцию.

Арифметическая: b = (а+с)/2

Геометрическая: b² = ас

Гармоническая: b = 2ас/(а+с)

Каждая пропорция обладает неким количеством характеристик, которые присущи исключительно ей. Например, арифметическая пропорция демонстрирует равенство разностей, но неравенство отношений. Так, в арифметической пропорции 3, 5, 7

7 – 5 = 5 – 3, но 7/5 не равно 5/3.

Геометрическая пропорция, с другой стороны, характеризуется равенством отношений, но неравенством разностей. Так в геометрической прогрессии 2, 4, 8

4/2 = 8/4, но 4 – 2 = 2 не равно 8 – 4 = 4.

Наиболее важной и мистической характеристикой гармонической пропорции является тот факт, что обратная к любой гармонической прогрессии представляет собой арифметическую прогрессию. Так 2, 3, 4, 5 представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию, а обратная последовательность 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 представляет собой уменьшающуюся гармоническую прогрессию. В музыке именно вставка гармонического и арифметического среднего между двумя крайними членами пропорции в удвоенных соотношениях – представляющих собой октаву – дает нам прогрессию, известную как «музыкальная» пропорция: 1, 4/3, 3/2, 2. Другими словами, арифметическое и гармоническое среднее между удвоенными геометрическими соотношениями представляют собой численные соотношения, которые соответствуют тональным интервалам чистой кварты и чистой квинты–базовым созвучиям практически во всех музыкальных строях.

Основополагающая пропорциональная структура, которая содержит аксиомы для наших основных математических операций, также является основополагающей пропорциональной структурой для законов музыки. Давайте далее изучим роль этих трех пропорций как архетипических мыслительных форм для всей вселенной музыки.

Прогрессия 1, 4/3, 3/2, 2 отображает частоты основного тона, кварты, квинты и октавы. Затем мы найдем арифметическую и гармоническую пропорции между струной, длиной в 1 и 1/2, что представляет собой деление вибрирующей струны на два и порождает увеличение частоты, соответствующее октаве.

Музыкальная октава основывается на тоне, частота вибрации которого находится в точном соотношении 2: 1 с другим тоном. Например, при игре на гитаре, ударяя по всей первой струне ЕХ, мы получим звучание основного тона, который в музыкальной системе обозначений обозначается через Е. Для облегчения расчетов давайте присвоим этому звуку величину в 6 единиц, обозначив, таким образом, количество его вибраций в секунду (в действительности оно составляет 82,5). Затем, если мы прижмем наш палец на ладу, отмеченному буквой Е, и ударим по струне длиной Е'Х, которая составляет ровно половину длины ЕХ, то частота вибрации будет в два раза больше, чем у струны длиной EX. Мы получим численное значение в 12 единиц, которое образует соотношение 2: 1 с 6. Тон Е'Х = 12 называется октавой от Е. Звук октавы обладает необыкновенной характеристикой, заключающейся в том, что он имеет то же качество, что и основной тон и как бы растворяется в нем, хотя он определенно выше по высоте звука. Чувство, которое мы испытываем, слушая звучание октавы, включает в себя тайну одновременного присутствия одинаковости и различия. Качество постижения одинакового и различного представляет собой уравновешенность разума, что и должно развивать сакральная геометрия: качество, которое различимо явным образом, но составляет гармоническое целое. Аналогично, если мы прижмем палец на ладу, помеченном как В, и заставим звучать струну длиной ВХ, то воспроизведенный тон будет относиться к основному тону ЕХ как 3: 2 или, как мы это уже показали, как 9: 6. Этот тон В представляет собой красивый консонантный звук и называется квинтой, поскольку он является пятым тоном в естественной последовательности деление струны ЕХ: диатонической мажорной гамме, в которой Е является нотой до, а В – соль. Звукоряд включает в себя восемь таких естественных звуковых делений от Е до Е, отсюда и название октава Если мы прижмем наш палец к ладу, отмеченному буквой А, и дернем струну АХ, то она воспроизведет другой консонантный звук, называемый квартой, и его частота будет взаимосвязано с основным тоном как 4: 3 или, кок это уже здесь указывалось, как 8: 6.

Это дает прогрессию 1, 3/4, 2/3, 1/2, поскольку гармоническое среднее между 1 и 1/2 = 2/3, т.е. дает квинту, а арифметическое среднее между 1 и 1/2 = 3/4, т.е. дает кварту. При сравнении этих двух прогрессий мы видим инверсию соотношений и пересечение функциональных позиций арифметического и гармонического средних.

Тайна музыкальной гармонии, которая вырастает из одновременной инверсии, также содержит одновременное сложение и умножение. Октава от основного тона получается путем прибавления интервалов: кварта плюс квинта дают октаву, и перемножение частот вибрации кварты и квинты также даст значение октавы (4/3 х 3/2 = 2). Объединенное действие сложения и умножения в математике дает понятие логарифма, и, как мы уже увидели, Золотая пропорция является архетипом для этой формы роста.

В приведенной таблице в явном виде отображается тайна законов звука, которая заключается в том, что числа, рассматриваемые как отношения частот возрастающего звукоряда, равны длинам струны для нисходящей гаммы. Закон музыкальной гармонии, если его рассматривать с точки зрения идеи опосредованной пропорции, становится символом закона естественного порядка: Тао созданных миров, где противоположные, хотя и одновременные движения взаимодействуют для образования звука и формы.

В данной таблице приведено одновременное инвертирование и пересечение арифметических и гармонических средних членов в музыкальной пропорции, как это рассматривается с точки зрения вибрации и длины струны.

Мы теперь можем наглядно представить этот числовой и гармонический принцип в виде геометрических фигур.

Геометрическое среднее находится по формуле b² = ас;

Гармоническое среднее соответствует формуле b(а + с) = 2ас; т.е. произведение суммы крайних членов и среднего гармонического равно удвоенному произведению крайних членов, или

Геометрическая пропорция называется совершенной пропорцией, поскольку она представляет собой прямую пропорциональную зависимость, соразмерность пропорции, связанной одним средним членом. Арифметическое и гармоническое средние образуют такое совершенство посредством замены разностей при изменении и инверсии.

Рабочая книга 8
Геометрия и музыка

Давайте теперь попробуем найти подтверждения того, о чем я говорил, в числовых прогрессиях. Обратимся сначала к геометрической последовательности: построим две геометрические последовательности (порядка 2): одну начнем с первого нечетного (мужского! числа после единицы – с 3, а другую начнем с первого четного (женского) числа – с 2. Отношение 1: 2 численно обозначает октаву, пространственное окружение, в котором первое консонантное деление на 3 (дающее кварту 2/3) символизирует посев, формообразующую функцию, которая вводит и определяет неизменные пропорциональные разделения в пределах первичного океана неразделенных звуков – в октаве:

3 6 12 24 48

2 4 8 16 32

В «Тимее» Платон показывает, что умножение на 2 и 3 дает нам все числа для пифагорейского строя путем последовательного умножения на квинту (3:2). Будучи платониками, мы помним, что Двойка символизирует способность к множественности, символизирует октаву, женское начало, меняющийся сосуд, тогда как Тройка символизирует мужское начало, определенное, постоянное, дающее неизменную структуру, таблица умножения которой дает всю полноту музыки. Это была «музыка сфер», вселенские гармонии, озвученные этими двумя первичными символами мужского и женского начал.

Теперь давайте объединим эти две геометрические последовательности, так чтобы они взаимодействовали по типу совокупления:

Гармоническая

Арифметическая

Мы можем видеть, что каждое второе пересекающееся множество из трех чисел дает нам поочередно арифметическую и гармоническую пропорцию: 2, 3, 4 представляет собой арифметическую пропорцию; 3, 4, 6 – гармоническую; 4, 6, 8 – арифметическую; б, 8, 12 – гармоническую и т.д. Таким образом, смешивание мужских чисел, порожденных геометрически, с женскими числами, также порожденными геометрически, дает нам возможность получения двух чередующихся пропорций.

На этой диаграмме, выполненной Зорзи, показаны две прогрессии 2 и 3, указанные Платоном в Тимее; они показаны совместно с музыкальной пропорцией 6,8,9,12. Музыкальная пропорция используется в качестве основы для порождения чисел в последовательности музыкальных октав, кварт и квинт, создавая, таким образом, гармоническую систему, которая могло бы использоваться в качестве модели в архитектуре, живописи и других искусствах.

Теперь давайте воспользуемся тем, что мы наблюдали при линейной организации, и посмотрим на ее формальную структуру с помощью Таблицы лямбда:

1 2 4 8 16 32 64

3 6 12 24 48 96

9 18 36 72 144

27 54 108 216

81 162 324

243 486

Выше приведена треугольная совокупность чисел, в которой пересекаются геометрическая прогрессия со знаменателем 2 (проходит горизонтально) и прогрессия со знаменателем 3 (идет по диагонали). Все последующие числа, расположенные по вертикали, относятся друг к другу как 2: 3, что аналогично умножению одного члена на 3/2 для получения значения стоящего внизу члена. Последовательное умножение на 3/2, т.е. квинту, представляет собой метод, использованный Пифагором для порождения музыкального ряда. Теперь становится очевидным происхождение числовых последовательностей, указанных на стр. 82 и 83.

Порождающему характеру Таблицы лямбда придается особое значение на гравюре, выполненной по дереву в 1503 году и приведенной на стр. 7, где эта таблица изображена на бедрах женщины. При изучении таблицы мы можем видеть, что каждый квадрат в виде четырех чисел, например, 2, 4, б, 3, содержит внутри себя две арифметические прогрессии (прогрессию 2, 3, 4 и 2, 4, 6), что дает нам три стороны, образующие верхнюю часть и одну диагональ квадрата. На том же рисунке мы видим гармонические прогрессии 2, 3, 6 и 3, 4,6, которые дают три стороны квадрата, две из которых накладываются на первую пропорцию, а другая дает четвертую сторону квадрата и другую диагональ.

Арифметическая Гармоническая

Итак, в Таблице лямбда, которую передал нам Никомах из Герата, содержится переплетение двух пропорций, дающее в итоге квадрат, который, как мы уже видели, является символом конечных, известных, проявленных сфер. Именно из этих чисел и музыкальных пропорций, как говорил Платон, сформирована Мировая душа.

Другой геометрический пример показывает взаимоотношение между корневыми функциями и принципами усреднения, которые создают мир гармонии в музыке.

	Рисунок 8.1. Взяв единичный квадрат, обе стороны и площадь которого равны 1, мы видим из геометрических соображений или при использовании тригонометрии, что, опустив перпендикуляр из точки пересечения √2 с √5/2 и продлив его до стороны (равной 1), мы разделим единичный квадрат, выступающий в роли единичности, в отношении 1/3 и 2/3, и, используя единичность в качестве большего члена, мы получим трехчленную арифметическую пропорцию: 1/3: 2/3: 1.   Рисунок 8.1. Арифметическая пропорция
	Рисунок 8.2. Опять используя единичный квадрат и путем проведения дуги из нижнего правого угла, перенесем длину стороны, равную 1, в точку пересечения с диагональю √2. Затем проведем дугу из верхнего левого угла до пересечения с верхней стороной квадрата. Мы вновь получим точку на верхней стороне квадрата, в которой необходимо разделить квадрат, и такое разделение даст трехчленную гармоническую пропорцию: (√2 – 1): (2 – √2): 1.   Рисунок 8.2. (√2 – 1): (2 – √2): 1 Гармоническая пропорция
	Рисунок 8.3. Последнее разделение стороны квадрата, равной 1, мы произведем с помощью диагонали √5/2. Для этого проведем дугу из точки пересечения, полученной при переносе половины стороны квадрата на диагональ √5/2, до пересечения с верхней стороной квадрата. Таким образом мы разделим квадрат в геометрической пропорции 1/ φ: 1/ φ 2: 1.   Рисунок 8.3. 1/ φ: 1/ φ 2: 1 Геометрическая пропорция

	Большое	Среднее	Малое
Арифметическое среднее		2/3 (0,666)	1/3 (0,333)
Гармоническое среднее		2 – √2 (0,586)	√2 – 1 (0,414)
Геометрическое среднее

В таблице представлена аналогическая или геометрическая пропорция в соответствии с тем, как она отображается при делении на крайние и средние члены, но в пределах первоначальной единичности.

Все три средних значения получены при условии, что 1 является наибольшим из трех членов. Эта последовательность рассматривалась как форма трансцендентальных (надрациональных) пропорций, поскольку все они являются несоизмеримыми, содержащимися в изначальной Единичности. (Нужно помнить, что древняя музыка строилась только на отношениях целых чисел, но сам принцип музыкальной структуры относится к надрациональным разделениям Единичности.) Эти три средних значения заключают в себе троицу троиц, три уникальных пропорциональных выражения, каждое из которых состоит из трех членов. Через сакральные корни из 2 и 5 они выражают фундаментальное гармоническое разделение Времени (музыки) и Пространства (геометрии) и часто использовались в традиционных культурах в качестве основ архитектуры, искусства, науки, мифологии и философии.

Рисунок 8.4. На рисунке представлен способ изображения красивой пропорциональной чаши или сосуда в форме Грааля с использованием только гармонического разделения для получения ее кривых и размеров. Мы можем полагать, что это и является геометрической сутью Священного Грааля.

В заданном квадрате ABCD со стороной, равной 1, начертите его диагонали АС и BD. Радиусом BD из центра в точке В проведите дугу DG до пересечения с продлением стороны ВС для образования ВС = 2. Радиусом CG из центра в точке С начертите дугу GF. Радиусом AF из центра в точке А начертите дугу FB для завершения половины профиля «Грааля». Проделайте те же операции с противоположной стороны.

Поиск по сайту: