VI. ГНОМОНИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ И ОБРАЗОВАНИЕ СПИРАЛЕЙ

Гномоническое расширение или рост, запечатленный на различных геометрических фигурах и в виде отдельных точек на квадрате, прямоугольнике и треугольнике.

«Есть ряд вещей, – говорил Аристотель, – которые не претерпевают изменений за исключением изменения по величине при их росте…» Он имеет в виду феномен, который греческие математики называли гномоном, и тип роста, основанный на нем и известный как гномоническое расширение. Герон из Александрии определяет его следующим образом: «Гномон представляет собой какую-либо фигуру, которая, будучи прибавлена к первоначальной фигуре, оставляет итоговую фигуру аналогичной первоначальной». Восприятие этой фигуры приводит к пониманию одной из наиболее общих форм роста в природе: роста, происходящего путем разрастающегося или аккумуляционного расширения, при котором старая форма содержится внутри новой. Именно таким образом развиваются постоянные элементы тела животного, такие как кости, зубы, рога и раковины, в отличие от мягких тканей, которые отбраковываются и замещаются.

Этот известный вид роста часто присутствует в архитектуре в качестве темы оформления здания. Индуистские храмы являются прекрасными примерами этого. Изготовление пола начиналось путем укладки четырех кирпичей, каждый размером в квадратный фут, которые таким образом формировали квадрат 2, а затем расширяли эту площадку до квадрата 3 и так далее. Каждое последующее расширение рассматривалось как расширение жертвенного алтаря, в котором весь храм повторял свой сущностный источник – алтарь или первоначальный квадрат. Так само строительство отображало смысл «жертвы», которая подразумевает превращение в то, чему она посвящена. И план, и объем типичного индуистского храма демонстрирует гно-монический рост, который наиболее очевидным образом проявляется в морских раковинах, а элементы предыдущих этапов роста явным образом свидетельствуют о структуре и замысле последующих этапов.

	Этот метод изображения гномона указывает на его связь с теоремой Пифагора: a2 + b2 = с2. Здесь показан гномонический рост от площади квадрата, равной 4, до квадрата с площадью 5, где гномон большего квадрата с площадью 5 равен 1/4 первоначального квадрата с площадью 4.
План типичного индуистского храма представляет собой простое концентрическое гномоническое расширение первоначального квадрата. Как мандала отражает небесный порядок, так и каждый квадрат содержит имя божества.

Гномон кок последовательность постепенною роста устанавливает проход сквозь время. В индуистском храме это расширение представляет собой продолжение первоначального квадрата, которым является жертвенный алтарь, вместилище символического космического огня. Таким образом, время описывается как неумолимый расширяющийся огонь жизни, распространяющийся в разные стороны и вновь поглощающий потенциальные жертвы, принесенные на изначальный алтарь.
Гномоническая мандола планировки помещений также используется в качестве управляющего элемента для проектирования развития храма.

Существуют интересные примеры того, как осуществляется рост и развертываются числа посредством гномонического расширения. Одной из математических характеристик является то, что все фигуры, рост которых происходит в соответствии с гномоническим расширением, образуют пересечения, на которых можно построить спирали. Эти формы, как это красиво показала Джилл Перс в своей книге «Мистическая спираль», присутствуют в природе везде: закручивающиеся в спираль стволы огромных эвкалиптовых деревьев, рога баранов и северного оленя, кости нашего скелета, раковины моллюсков, в частности раковина моллюска Наутилус помпилиус, которая следует спирали в соответствии с Золотой пропорцией. Спирали можно найти в отдельных цветках в соцветии подсолнечника, в наружном контуре какого-либо сердцеобразного листа; в локоне волос или в скрутившейся змее, или в хоботе слона, пуповине или в улитке внутреннего уха.

Все эти спирали являются результатом процесса гномонического роста, в котором квадрат и его гномон могут рассматриваться в качестве архетипической формы.

Эти диаграммы из книги Дарси Томпсона "О росте и форме" указывают на то, что спирали можно получить из треугольников и шестиугольников с помощью гномонического роста.

Рабочая книга 6
Гномонические спирали

Приводимые ниже иллюстрации дают понимание древнего математического метода по образованию отношений целых чисел, которые довольно хорошо аппроксимируют несоизмеримые функции. Этот метод приписывается греческому математику Диофанту, но он, по всей вероятности, может являться частью более древнего математического знания. В приводимых ниже примерах мы можем обнаружить объединение гномонического роста, важных аддитивных прогрессий, прогрессии сакральных треугольников и количественных отношений, которые стремятся к сакральным корням из 2, 3 и 5. Все эти геометрические операции становятся основой для образования спиральных кривых, которые служат моделью для большого количества видов движения во Вселенной: от частицы до галактики.

Мы начнем с двух аддитивных прогрессий (мы уже встречались с ними при изучении числа φ, см. стр. 57). Мы посмотрим, как последовательности тех же самых чисел могут восприниматься также в качестве прогрессии развертывающихся (вращающихся) прямоугольников при образовании спирали. Наш метод будет заключаться в сравнении взаимоотношений между прогрессиями, вытекающих из двух важных отношений: 1: 2 и 1: 3. Для того чтобы сделать это, одна последовательность будет рассматриваться в качестве последовательности числителей, а вторая – в качестве последовательности знаменателей. Мы начнем с образования спирали на основании √5.

Исходное отношение 1:3 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123

Исходное отношение 1:2 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Внимание следует обратить на две характеристики этих дробных прогрессий:

во-первых, чем дальше мы идем по последовательности, тем ближе отношение между числителем и знаменателем подходит к величине несоизмеримого корня из 5 = 2,2360679…

Например, функция из нашей последовательности 29/13 = 2,230… является приближением к значению √5, но немного меньше его. А следующая дробь 47/21 = 2,23809… также является приближением к значению √5, но немного больше его. Идущая далее дробь 76/34 = 2,235 опять меньше значения несоизмеримого корня, но гораздо ближе, чем предыдущее отношение; 123/53 = 2,23636 больше точного значения, но все же ближе к нужному значению. Эта модель опять представляет собой колебание вверх и вниз, все сильнее приближающееся к надрациональному корню.

Второй характеристикой является то, что мы можем воспринимать эти последовательные числовые взаимоотношения как пространственные формы, т.е. квадраты и прямоугольники. Для преобразования этой последовательности в спиральную конфигурацию мы просто возьмем 1 в качестве стороны квадрата и добавим последовательность квадратов к уже существующей фигуре так, чтобы сторона каждого нового квадрата равнялась величине, на которую была увеличена предыдущая фигура, начиная с начальной:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д.

Первоначальный прямоугольник 1: 2 уже образован путем прибавления 1 к 1 (1 + 1), так что величина 2 становится длиной стороны квадрата, который добавляется к первоначальному прямоугольнику, давая в результате 3. Эта тройка становится стороной нового квадрата, который добавляется к предыдущему прямоугольнику 3: 2, образуя новое отношение 3: 5.

Отношение между двумя последующими членами этой последовательности стремится к φ. Логарифмическая функция φ (см. стр. 56) позволяет найти, взяв три последующих члена последовательности, например, φ², поскольку выражение 1 + φ = φ в точности соответствует выражению суммы 8 и 13 = 21, а отношение 13: 8 можно рассматривать как величину, стремящуюся к φ, тогда как 21: 8 является значением φ².

Теперь возьмем нашу последовательность числителей и преобразуем их в пространственные фигуры, рассматривая отношение 1: 3 в качестве прямоугольника и прибавляя к ним квадрат так, как мы это делали раньше. Первый квадрат, сторона которого должна равняться 3 при прибавлении к первоначальным прямоугольникам, дает отношение 3: 4. Сторона второго квадрата будет равна 4, а четверка, прибавленная к 3, даст 7, что предоставляет нам второе отношение: 4: 7. Продолжая таким образом, мы получим последовательность чисел: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,76, 123, 199 и т.д.

Выше приведена последовательность чисел, отличная от последовательности Фибоначчи, но опять отношение между последующими членами стремится к φ, и каждый член образуется путем прибавления двух предыдущих членов.

Теперь мы можем объединить обе последовательности, в каждой из которых φ выступает в качестве отношения между каждым последующим членом, а отношение между членами этих последовательностей дает √5. Именно при таком объединении образуется спираль.

Используя этот метод, мы можем выработать план образования трех спиралей, которые будут соответствовать указанным законам геометрии и пропорции.

Рисунок 6.1. Спираль корня из 5, начинающаяся с отношений 1: 2 и 1: 3.

Для построения спирали √2 мы опять начнем с двух порождающих отношений: 1:2 и 1:3 для инициации прогрессий, которые будут образовывать последовательности из числителей и знаменателей:

Исходное отношение 1:31 3 7 17 41 99 диагональные числа

Исходное отношение 1:2 1 2 5 12 29 70 боковые числа

Здесь мы видим два отклонения от формы √5, описанной выше. В этом примере ни одна из прогрессий не начинается с повторяющегося числа 1, и здесь вместо простой аддитивной последовательности мы имеем каждый раз сложение сторон двух квадратов.

Рост осуществляется путем сложения двух равных квадратов, которые в качестве стороны используют большую сторону предыдущего прямоугольника. Так, к первоначальному прямоугольнику 1: 2 добавьте два квадрата со сторонами, равными 2, так чтобы получить сторону, равную 1+2 + 2 = 5; затем к прямоугольнику 2: 5 прибавьте квадраты со сторонами, равными 5, что даст 2 + 5 + 5 = 12, и т.д.

К первоначальному прямоугольнику 1: 3 мы прибавляем два квадрата со стороной, равной 3, что даст 1 + 3 + 3 = 7, ик этой 7 мы прибавим два квадрата со стороной, равной 7, получим 3 + 7 + 7 = 17 и т.д. Последовательность 1, 2, 5, 12, 29… и т.д. представляет стороны квадратов, в которых диагонали соответственно равны 1, 3, 7, 17, 41… и т.д. Соотношение между этими двумя последовательностями, отходящими от единичности («Единичность, – как говорил Теон, – в действительности является стороной и диагональю»), все сильнее и сильнее приближается к √2.

Рисунок 6.2. Спираль √2, начинающаяся с соотношений 1: 2 и 1: 3, но с последующим прибавлением двух квадратов.

Внеся только несколько изменений в процедуру порождения, мы можем теперь построить прогрессию и спираль, относящиеся к √3. Изменения в данном случае заключаются в том, что отношение 1: 3 начинает последовательность 1,1,3… (а не 1, 3…) и дает знаменатели вместо числителей, как это было в других двух спиралях. Для получения спирали √5 мы последовательно прибавляли один квадрат, для получения спирали √2 мы последовательно прибавляли два квадрата, но в данном случае мы прибавим первые два квадрата вместо одного.

Начиная с исходного отношения 1: 2, мы прибавляем два квадрата со стороной, равной 2, и получаем 1 +2 + 2 = 5, затем один квадрат со стороной, равной 5, получая 2 + 5 = 7, и т.д., соблюдая в дальнейшем последовательность прибавления сначала двух, а затем одного квадрата.

Исходное отношение 1:31 2 5 7 19 26 71 97

Исходное отношение 1:2 1 1 3 4 11 15 41 55

Исходная фигура 1: 3 строится в точности таким же образом и дает последовательность чисел, указанную выше.

Как и в случае с первыми двумя корнями, именно наложение числителей и знаменателей дает отношения, дающие √3. Благодаря «синкопируемому» прибавлению сначала двух, а затем одного квадрата, нельзя при таком построении нарисовать сразу две – внутреннюю и внешнюю – спирали. √3, будучи созидательным принципом, выступает только как содержащая или внешняя спираль.

Рисунок 6.3. Примеры построения спиралей, приведенные на данном рисунке, частично взяты из книги Р.А. Шваллера де Любича «Храм человеческий».

Более глубокая цель такого спирального развития числа вокруг надрациональных корней заключается в том, что нам предоставляется модель, в соответствии с которой неопределимая причина (корень) выражает себя посредством игры определяемых чисел и форм.

Спираль все еще остается нашим наиболее содержательным образом в отношении движения Времени, и поэтому она является главным элементом для нашего восприятия развития. Приводимый ниже отрывок из книги Шри Ауробиндо «Проблема возрождения» точно озвучивает то, что мы только что испытали при отображении вселенского закона языком геометрии:

«То, что окружает нас, представляет собой постоянный процесс в его универсальном аспекте, прошедшие моменты времени присутствуют в нем, содержатся в нем, исполненные и пройденные, но в общем и в своих подробностях они все еще повторяются в виде основания и подоплеки; настоящие моменты времени присутствуют в нем не в виде повторения в худшем свете, но в виде активного, оплодотворенного созревания всего того, что духу еще предстоит проявить: без иррационального повторения десятичных знаков, которые беспомощно возникают в цифрах бесконечным образом, но в виде развертывания последовательности божественных сил Бесконечного. Именно присутствующая в вещах Воля, великая и осмотрительная, неторопливая, неутомимая, движется через любые циклы ко все большему и большему раскрытию своего собственного облика в своей собственной бесконечной реальности.» (Курсив мой).

Поиск по сайту: