Линейное пространство

5.1. Образует ли линейное пространство, заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое число .

Немного теории

Линейное (векторное) пространство над числовым полем K называется множество объектов L любой математической природы, для которых определены операции сложения и умножения.

L – элементы математической природы

K – числовое поле

– операция сложения:

– операция умножения

,

Линейное пространство должно удовлетворять следующим свойствам

1. , - замкнутость операций

2. - коммутативность сложения

3. - ассоциативность

4. - существование «нулевого» элемента

5. - существование «отрицательного» элемента

6. - существование «единичного» элемента

7. - существование «обратного» элемента

8. - ассоциативность умножения на скаляр

9. - дистрибутивность относительно вектора

10. - дистрибутивность относительно скаляра

Пример

Образует ли линейное пространство множество всех дифференцируемых функций a = f(t), b = g(t), если сумма задана – f(t) · g(t), произведение – α · f(t).

Попросту говоря, функция называется дифференцируемой, если её график можно нарисовать в виде непрерывной линии на всём участке.

Проверим выполнение всех свойств.

1. Произведение дифференцируемых функций, даст дифференцируемую функцию, произведение действительного числа на дифференцируемую функцию, также, даст дифференцируемую функцию.

2. Второе свойство выполняется по свойствам тождественных преобразований: от перестановки множителей произведение не меняется. Для дифференцируемых функций это также справедливо.

3. Свойство выполняется, аналогично предыдущему.

4. Нулевой элемент , т.к. . Функция f(t) = 1 также дифференцируема, следовательно, нулевой элемент существует, свойство выполняется.

5. Отрицательный элемент для f(t): f '(t) = 1/f(t) существует, так как f(t) · 1/f(t) = 1 = . Однако, отрицательная функция f '(t) = 1/f(t) не всюду дифференцируемая, а только если f(t) не равно нулю. Следовательно, свойство не выполняется.

Дальнейшую проверку можно не проводить.

Ответ: не образует.

Примечание. В показанном примере, множество дифференцируемых функций образовывали бы линейное пространство, если сумма была бы определена следующим образом: f(t) + g(t).

Поиск по сайту: