Найти площадь треугольника ABC и длину высоты, опушенной из точки С

Геометрический смысл модуля векторного произведения состоит в том, что это площадь параллелограмма, образованного этими векторами. А площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Площадь треугольника также можно найти как произведение высоты, на основание, делённое на два, из этого можно вывести формулу нахождения высоты.

Таким образом, найдём высоту

Ответ: , .

6.12. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и .

Результатом скалярного произведения есть вектор, который перпендикулярный двум исходным. А единичный вектор – это вектор, делённый на его длину.

Ранее, нами было найдено:

,

Ответ: .

6.13. Определить величину и направляющие косинусы момента силы , приложенной к А относительно точки С.

Физический смысл векторного произведения – это момент силы. Приведём иллюстрацию к данному заданию.

Находим момент силы

Ответ: .

6.14. Лежат ли векторы , и в одной плоскости? Могут ли эти векторы образовывать базис пространства? Почему? Если могут, разложите по этому базису вектор .

Чтобы проверить лежат ли вектора в одной плоскости необходимо выполнить смешанное произведение этих векторов.

Смешанное произведение не равно нулю, следовательно, вектора не лежат в одной плоскости (не компланарные) и могут образовывать базис. Разложим по этому базису.

Разложим по базису, решив уравнение

Ответ: Векторы , и не лежат в одной плоскости. .

6.15. Найти . Чему равен объём пирамиды с вершинами A, B, C, D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD.

Геометрический смысл смешанного произведения в том, что это объём параллелепипеда образованного этими векторами.

Объём же пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда.

Объём пирамиды, ещё можно найти так:

Получим формулу нахождения высоты

Находим

Находим высоту

Ответ: объём = 2.5, высота = .

6.16. Вычислить и .

– над этим заданием предлагаем вам подумать самим.

– выполним произведение.

Ранее было получено

Ответ: .

6.17. Вычислить

Выполним действия по частям

1)

2)

3)

4)

5)

Суммируем полученные значения

Ответ: .

6.18. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и , а его проекция на вектор равна 5.

Разобьем данную задачу на две подзадачи

1) Найдём вектор, перпендикулярный векторам и произвольной длинны.

Перпендикулярный вектор мы получим в результате векторного произведения

Ранее, нами было найдено:

Искомый вектор отличается лишь длинной, от полученного

2) Найдем через уравнение

Ответ:

6.19. Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , .

Рассмотрим более детально данные условия.

Это система линейных уравнений. Составим и решим данную систему.

Ответ:

6.20. Определить координаты какого-либо вектора , компланарного с векторами и , и перпендикулярного вектору .

В данном задании два условия: компланарность векторов и перпендикулярность, выполним сначала первое условие, а потом второе.

1) Если вектора компланарны, значит их смешанное произведение равно нулю.

Отсюда получим некоторую зависимость координат вектора

Найдем вектор .

2) Если вектора перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно нулю

Мы получили вторую зависимость координат искомого вектора

Для любого значения вектор будет удовлетворять условиям. Подставим .

Ответ: .

Аналитическая геометрия

Поиск по сайту: