АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений

Читайте также:
  1. III. Базисный минор.
  2. S: Определить длину отрезка, на котором укладывается столько же длин волн в вакууме, сколько их укладывается на отрезке 3 мм в воде.
  3. V. Для дискретної випадкової величини Х, заданої рядом розподілу, знайти:
  4. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  5. V2: ДЕ 14 – Векторные пространства. Коллинеарность векторов.
  6. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  7. Аксиомы линейного пространства
  8. Анализ результатов и принятие решений.
  9. Антиномии пространства и времени
  10. Арифметическое представление пространства и времени
  11. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. незал. множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторів.
  12. Архитектоника культурного пространства

 

Сформируем расширенную матрицу и приведём её к виду трапеции методом Гаусса.

 

Получим

Чтоб получить какой-нибудь базис подставим произвольные значения:

Получим остальные координаты

Ответ:

 

5.4. Найти координаты вектора X в базисе , если он задан в базисе .

Нахождение координат вектора в новом базисе сводится к решению системы уравнений

 

Способ 1. Нахождение при помощи матрицы перехода

Составим матрицу перехода

Найдём вектор в новом базисе по формуле

Найдём обратную матрицу и выполним умножение

,

 

Способ 2. Нахождение путем составления системы уравнений.

Составим базисные вектора из коэффициентов базиса

, ,

Нахождение вектора в новом базисе имеет вид

, где d это заданный вектор x.

Полученное уравнение можно решить любым способом, ответ будет аналогичным.

Ответ: вектор в новом базисе .

 

5.5. Пусть x = (x1, x2, x3). Являются ли линейными следующие преобразования.

 

Составим матрицы линейных операторов из коэффициентов заданных векторов.

Проверим свойство линейных операций для каждой матрицы линейного оператора.

Левую часть найдём умножением матрицы А на вектор

Правую часть найдем, умножив заданный вектор на скаляр .

Мы видим, что значит, преобразование не является линейным.

Проверим другие вектора.

, преобразование не является линейным.

 

, преобразование является линейным.

Ответ: Ах – не линейное преобразование, Вх – не линейное, Сх – линейное.

 

Примечание. Можно выполнить данное задание гораздо проще, внимательно посмотрев на заданные вектора. В Ах мы видим, что есть слагаемые которые не содержат элементы х, что не могло быть получено в результате линейной операции. В Вх есть элемент х в третьей степени, что также не могло быть получено умножением на вектор х.

 

5.6. Дано x = { x1, x2, x3 }, Ax = { x2 – x3, x1, x1 + x3 }, Bx = { x2, 2x3, x1 }. Выполнить заданную операцию: (A (B – A)) x.

 

Выпишем матрицы линейных операторов.

 

Выполним операцию над матрицами

При умножении полученной матрицы на Х, получим

 

Ответ:

 

5.7. Найти матрицу в базисе , где , , , если она задана в базисе : (0 2 1, 0 3 2, 1 1 -1)

Запишем вектора в виде системы и составим матрицу перехода и исходную матрицу.

Воспользуемся формулой нахождения матрицы в новом базисе.

Найдем обратную матрицу и выполним произведение.

Ответ:

 

5.8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость .

Нормальный вектор плоскости . Произвольная точка пространства M(x, y, z) переходит в точку M1(x1, y1, z1). При этом вектор N является направляющим вектором прямой MM1, поэтому канонические уравнения этой прямой будут:

.

Отсюда

Точка М1 одновременно принадлежит плоскости и прямой L, следовательно её координаты удовлетворяют уравнениям прямой и плоскости.

Преобразуем, чтоб найти координаты точки М1.

Мы получили координаты проекции, точка M(x, y, z) переходит в точку , следовательно, проектирование на плоскость выполняется линейным преобразованием А.

а) Проверим выполнение свойства .

Проверим линейность данного преобразования. Рассмотрим вектор и выполним над ним преобразование А.

свойство выполняется.

б) Проверим выполнение свойства .

Выполним преобразование A над векторами.

Оба свойства выполняются, значит, преобразование является линейным.

Составим матрицу преобразования. Для этого найдём образы орт:

Построим матрицу линейного преобразования, строки в которой – координаты образов базисных векторов .

Областью значений преобразования А является множество всех образов этого преобразования, то есть .

Ядром линейного оператора является подпространство векторов, отображающихся в нулевой вектор

Распишем равенство по координатам и преобразуем

Запишем систему в виде канонических уравнений прямой

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной к исходной плоскости .

Ответ: матрица , ядро линейного оператора .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)