Векторная алгебра. Даны четыре точки: A(1, -1, 2), B(2, 1, 0), C(-1, -2, 0), D(0, 1, 1)

Даны четыре точки: A(1, -1, 2), B(2, 1, 0), C(-1, -2, 0), D(0, 1, 1)

6.1. Найти: .

Для нахождения координат вектора, необходимо из координат конечной точки почленно вычесть координаты начальной точки.

Имеются ли среди них коллинеарные?

Вектора коллинеарны в том случае, если отношение их координат равны

Проверим вектора a и b на коллинеарность

– не коллинеарны

Проверим вектора a и с на коллинеарность

– не коллинеарны

Если не коллинеарен и не коллинеарен , значит не коллинеарен также.

Ответ: , , . Коллинеарных векторов нет.

Примечание. Вектор обозначается тремя координатами, это координаты конца вектора, а начало находится в начале координат (0, 0, 0). Т.к. по определению вектор – это направленный отрезок и не имеет относительного положения в пространстве.

6.2. Найти единичный вектор того же направления что и .

Единичный вектор находится: , где – модуль вектора.

Находим

тогда

Ответ: .

Примечание. Координаты единичного вектора должны быть не больше единицы.

6.3. Найти длину и направляющие косинусы вектора . Сравните с ответом в предыдущем пункте. Сделайте выводы.

Длина вектора – это есть его модуль:

, а направляющие косинусы мы можем найти по формуле одного из способов задания векторов:

Из полученного мы видим, что направляющие косинусы это и есть координаты единичного вектора.

Ответ: , , , .

6.4. Найти .

Необходимо выполнить действия умножения вектора на число, сложения и модуль.

Почленно перемножаем координаты векторов на число.

Почленно складываем координаты векторов.

Находим модуль вектора.

Ответ:

6.5. Определить координаты вектора , коллинеарного вектору , зная, что и он направлен в сторону, противоположную вектору .

Вектор коллинеарен вектору , значит, его единичный вектор равен единичному вектору только со знаком минус, т.к. направлен в противоположную сторону.

Единичный вектор имеет длину равную 1, значит, если его умножить на 5, то его длинна будет равна пяти.

Находим

Ответ:

6.6. Вычислить скалярные произведения и . Перпендикулярны ли векторы и , и между собой?

Выполним скалярное произведение векторов.

Если вектора перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.

Мы видим, что в нашем случае вектора и перпендикулярны.

Ответ: , , векторы не перпендикулярны.

Примечание. Геометрический смысл скалярного произведения малоприменим на практике, но все-таки существует. Результат такого действия можно изобразить и вычислить геометрически.

6.7. Найти работу, совершённую материальной точкой к которой приложена сила , при перемещении её из точки B в точку С.

Физический смысл скалярного произведения – это работа. Вектор силы здесь , вектор перемещения – это . А произведение этих векторов и будет искомой работой.

Находим работу

Ответ: -3.

Поиск по сайту: