Дана система, где a и b некоторые константы

а) При каких a и b система имеет единственное решение.

Система имеет единственное решение, если определитель матрицы коэффициентов не равен нулю.

,

Определим, при каком значении а, определитель матрицы А не будет равным нулю.

Ответ: система имеет решение при , .

Обратите внимание, что определитель был раскрыт по первому столбцу. Если бы мы применяли метод треугольника, то пришлось бы собирать подобные при неизвестной а. Также стоит обратить внимание на то, что на решаемость системы не влияет столбец ответов B.

б) При каких значениях a и b система не имеет решения.

Если определитель системы равен нулю, система не имеет единственного решения, в таком случае система, либо не имеет решения вовсе, либо имеет бесконечное множество решений.

Система не имеет решения если:

rank(A') > rank(A), где А' – расширенная матрица

В основную матрицу подставим, а = 4.

Для начала найдём ранг матрицы А:

Определитель данной матрицы равен нулю, т.к. мы подставили искомую а = 4. Следовательно, ранг матрицы ниже 3-х.

Составим из матрицы А матрицу меньшего размера и найдём её определитель. Возьмём матрицу 2х2 построенную из левых верхних элементов матрицы А.

Определитель не равен нулю, значит ранг матрицы А = 2.

Чтоб система не имела решений ранг матрицы A' должен быть больше 2-х.

Определим, при каком значении b ранг матрицы А' не будет равен нулю.

Найдём определитель подматрицы А'.

Получаем .

Проверим для двух других случаев

Как видим, для всех комбинаций расширенной матрицы .

Ответ: система не имеет решение при , .

в) При каких a и b система имеет бесчисленное множество решений.

Если rank(A') <= rank(A), а это будет в случае если b = 9.

Ответ: система имеет бесконечное количество решений при , .

Поиск по сайту: