Операция умножения матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что , где , .

Получение элемента схематично изображается так:

j

Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы произведения, нужно все элементы i-ой строки (, , …, ) матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца (, , …, ) матрицы В и полученные произведения сложить.

Если матрицы А и В произвольного размера, то произведения АВ и ВА не всегда существуют.

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка.

Пусть .

Произведением этих матриц называется матрица

чтобы найти элемент первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. и ) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. и ) и полученные произведения сложить ;

чтобы получить элемент первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки ( и ) на соответствующие элементы второго столбца (т.е. и ) и полученные произведения сложить:

аналогично находится элементы и .

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко доказать, что А∙Е=Е∙А=А, где А-квадратная матрица, Е- единичная матрица того же размера.

Пример 3. Найти произведение матриц А и В, если

,

Решение. Так как матрица и матрица , то матрица произведения и содержит 9 элементов. Найдем каждый элемент матрицы-произведения:

Пример 3. Найти произведение матриц А и В, если

Решение. Произведение матриц А∙В не определенно, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). При этом определенно произведение В∙А. Так как матрица и матрица , то матрица произведения и содержит 6 элементов.

В∙А=

Умножение матриц обладают следующими свойствами:

1. А∙(В∙С)= (А∙В)∙С;

2. А∙(В+С)=АВ+АС;

3. (А+В)∙С=АС+ВС;

4. α(АВ)=(αА)В.

5.

Контрольные вопросы

1. Что называется матрицей?