В НЕПОЛНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

А.Р. Ганеева

ЛИНИЯ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

В НЕПОЛНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

У математиков существует свой язык – формулы.

С. Ковалевская

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Что называют математическими выражениями? Приведите примеры.

2. Где вы встречались с тождественными преобразованиями?

3. Когда и кем был введен знак «≡» для обозначения тождества?

Линия тождественных преобразований в курсе математики средней школы и ее взаимосвязь с другими линиями школьного курса.

Тождественное преобразование (ТП) в математике понимается как:

• замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным, но отличным по форме;

• преобразование (отображение в себя) некоторого множества, оставляющее на месте каждый его элемент.

В курсе алгебры ТП рассматриваются в первом смысле, т. е. как замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным. Знак «≡» для обозначения тождества был введен Бернхардом Риманом (немецким математиком, учеником К. Гаусса) в 1857 г.

Для мотивации изучения сложных тождественных преобразований можно применить прием М. П. Синельникова. "Учитель дает довольно сложное алгебраическое выражение, например и предлагает вычислить его значение при значениях букв, задаваемых учениками. Преподаватель сразу дает ответ, который учащиеся могут найти лишь после более или менее продолжительных вычислений. Этот прием подводит учеников к понятию «тождественные выражения», вызывает у них интерес к изучению правил, по которым можно данное сложное выражение заменить более удобным для вычислений. Значение темы «Тождественные преобразования» состоит в следующем:

• ученики должны понимать, что в алгебре все действия только обозначаются, а затем преобразуются в более простые заменой суммы, произведения тождественно равным выражением;

• тождественные преобразования – не самоцель, они используются для удобства нахождения числовых значений выражений, решения уравнений, доказательства неравенств и выявления свойств функций.

Это значит, что с тождественными преобразованиями связаны все линии курса алгебры. Поэтому ТП – одна из основных линий курса алгебры и начал анализа школьной математики.

Изучение этой линии выполняет различные функции.

Теоретический аппарат служит средством построения теории других линий, таких, как «Уравнения, неравенства и их системы», «Функция» и др. Операционный аппарат является практической базой решения математических и прикладных задач. Школьный курс математики выделяет два основных класса математических выражений: алгебраические (выражения, составленные из конечного числа букв или цифр, соединенные знаками действий, порядок действий может определяться и скобками; арифметические выражения – частный вид выражений, не включающих букв) и трансцендентные (аналитические выражения, не являющиеся алгебраическими).

Основная (базовая) теория тождественных преобразований изложена на множестве алгебраических выражений. Далее при введении трансцендентных функций расширяется область применения тождественных преобразований и, что естественно, свойства введенных функций выделяют особенности преобразований неалгебраических выражений. Уровень строгости изложения темы в школьных учебниках различен.

Основные типы преобразований и этапы их изучения

В учебнике алгебры для 7 класса под редакцией С. А. Теляковского вводится понятие «тождества» на первом этапе изложения курса. Оно определяется как равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных. Следует отметить, что этому определению предшествует определение тождественно равных выражений. Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

С введением дробно-рациональных выражений (8 класс) авторы возвращаются к понятию тождества и определяют тождество как равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Изучение линии тождественных преобразований предполагает выделение четырех этапов: пропедевтического (5-6 классы); первого, на котором используется нерасчлененная система преобразований (начало 7 класса); второго, в процессе которого выделяются конкретные виды преобразований (8-9 классы); третьего, который организует целостную систему преобразований (10-11 классы).

Усвоение понятия буквенного выражения осуществляется посредством выполнения учащимися разнообразных письменных и устных упражнений. Вначале выполняются простые упражнения, потом со временем усвоения программы – упражнения с более сложной конструкцией выражений: вводятся новые буквы, увеличивается их число, используются числа из новых числовых множеств, разнообразятся действия над выражениями.

Рассмотрим методику ознакомления учащихся с математической символикой и ее использование для введения некоторых понятий.

При выполнении упражнений всегда имеется в виду, что работа с буквенными данными является естественным продолжением работы с конкретными числами и числовыми выражениями. При выполнении заданий придерживаются общепринятого положения, высказанного профессором В. Л. Гончаровым еще в 1955 г.: «Все, что не сразу выходит с буквами, делайте сначала с числами. Все, что сразу выходит с буквами, сейчас же проверяйте на числах». Это связано с тем, что учащиеся на первых порах испытывают затруднения в усвоении буквенной символики: в усвоении наименования и их записи. В практике обучения поэтому изыскиваются возможности более раннего проведения с учащимися беседы об использовании в математике соответствующей символики.

Содержание этой беседы может быть таким. Вначале мотивируется использование в математике буквенной символики (как средства более яркого, точного и лаконичного представления математических суждений, средства обобщения изученных свойств чисел, способа выделения изученной закономерности, алгоритма вычислений и т. п.), потом отмечается, что в алгебре часто для этой цели используются буквы латинского алфавита.

Такая таблица изготавливается для обозрения всего класса и может быть изготовлена каждым учеником в виде отдельной карточки для индивидуального пользования.

Усвоение буквенной символики осуществляется постепенно по мере раскрытия содержания курса, причем на первых порах учитель не только показывает на конкретном материале употребление букв, но и мотивирует их использование, направляет внимание учащихся на более четкое выделение с их помощью соответствующих отношений и функциональных связей, напоминает и закрепляет специфические для математики обороты речи и т. п. Важно при этом использовать задания следующих типов:

1) на чтение и понимание смысла буквенно-символической записи объектов изучения;

2) на запись объектов изучения в буквенно-символической форме;

3) на действия с объектами изучения, записанными в буквенно-символической форме.

Приведем несколько примеров заданий по каждому типу упражнений. Так, например, развитию речевых навыков содействуют такие упражнения:

1. Проанализируйте порядок выполнения действий в каждое из данных выражений и объясните, как оно читается:

Заметим, что каждому такому упражнению предшествуют аналогичные упражнения на числовом материале, например: «Прочитайте выражения: 2 + 3; 2∙3 + 4; 2∙3 + 4-5; 2∙3 – 6:2» и т. п.

Отметим, что если алгебраическое выражение содержит действия разных ступеней, то при чтении его произносят сначала последнее по порядку действие, а затем называют остальные действия. Например, – здесь последнее по порядку действие – умножение, поэтому читаем так: «Произведение разности чисел а и b на число с».

В учебнике по математике 5 класса Я.Н. Виленкина имеются рубрики, отмеченные славянской буквой «глаголь», которые учат говорить правильно.

Ко второму типу упражнений относятся следующие:

1. Запишите с помощью чисел, букв и знаков действий и отношений предложение:

а) произведение числа а на сумму чисел k и единицы;

б) а – отрицательное число;

в) определение модуля числа b.

2. Укажите на координатной прямой и запишите с помощью символов следующее: а) 2 – положительное число; б) – 3 – отрицательное число; в) отрицательное число, модуль которого равен 7.

3. Используя буквенную символику, запишите общий вид чисел: а) четных; б) нечетных; в) делящихся на 3; г) которые при делении на 3 дают в остатке 1.

К третьему типу упражнений относятся такие:

1. Закончите запись:

2. В чем сходство и различие выражений

Сравните значения этих выражений при а = 2, b = 3 и с = 5.

Многие из приведенных упражнений выполняются устно. Эти упражнения часто предлагаются учащимся на этапе введения в урок в виде математического диктанта, математической разминки, устного счета и т. п/ В основном они выполняются после проверки учителем домашней работы, но перед заданиями, с помощью которых учитель вводит учащихся в новый материал. Разнотипность заданий позволяет удачно их включать в содержание учебного материала первого этапа урока.

В процессе изучения алгебраического материала данного курса используются упражнения и других типов. Основная их цель – активно использовать буквенную символику в качестве средства обобщения изученного материала. Приведем несколько примеров.

Записи законов арифметических действий в буквенной форме появляются как закономерный итог выполнения учащимися большого количества заданий с конкретными числовыми данными.

Поиск по сайту: