Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях a, b и c верно равенство

Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях a, b и c, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при b ≠0 и c ≠0.

● Пусть Тогда по определению частного Умножим обе части этого равенства на с:

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:

Так как bc ≠0, то по определению частного

Значит,

○

Мы показали, что для любых числовых значений переменных a, b и c, где b ≠0 и c ≠0, верно равенство

(1)

Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами a, b и c понимают многочлены, причем b и с – ненулевые многочлены, т.е. многочлены, не равные тождественно нулю.

Равенство (1) выражает основное свойство рациональной дроби: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же нулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Например,

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.

Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

Поиск по сайту: