Доказательство тождеств

Значительная часть тождеств, изучаемых в курсах алгебры, доказывается или по крайней мере поясняется. В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств, используются свойства арифметических операций. Некоторые тождества имеют геометрическое доказательство, которые не только поучительны и наглядны, но и способствуют усилению межпредметных связей. Геометрические доказательства можно рассматривать наряду с доказательствами алгебраического характера.

Доказательства тождеств можно разделить на три типа в зависимости от того, насколько они удовлетворяют требованиям строгости:

а) неполностью строгие рассуждения, требующие использования метода математической индукции для придания им полной строгости. Эти доказательства применяются для вывода правил действий с многочленами, свойств степеней с натуральными показателями;

б) полностью строгие рассуждения, опирающиеся на основные свойства арифметических действий (т.е. на свойства, служащие аксиомами для понятия поля) и не использующие других свойств числовой системы. Основная область применения таких доказательств – тождества сокращенного умножения.

в) полностью строгие рассуждения, использующие условия разрешимости уравнений вида изучаемая элементарная. Такие доказательства характерны для вывода свойств степени с рациональным показателем.

Пример 1 (доказательство типа а). К этому типу относится доказательство основного свойства степени для натуральных показателей: Запись этого доказательства имеет вид:

Для того чтобы доказательство было усвоенным, после него рассматриваются примеры на произведение степеней с одинаковым основанием и числовыми показателями степени; может встретиться, скажем, такой пример: Такие примеры хорошо иллюстрируют способ доказательства свойства степени для частного случая. Для выявления структуры доказательства целесообразно рассмотреть пример, в котором показатели степени были бы достаточно велики, например, здесь упрощения, связанные с тем, что выкладки могут быть проведены полностью, в конечном виде, не применимы. На таких данных воспроизведение схемы доказательства сохраняет наиболее существенный момент – изображение произведения большого числа сомножителей (одинаковых) при помощи специального знака «…»:

В этом рассуждении числа (показателей степеней) играют роль переменных. По приведенному образцу можно повторить рассуждения для любого другого набора показателей степени, так что оно имеет общий характер. Отметим, что некоторые доказательства утверждений, существенных для курса алгебры, можно провести в нем только на такого рода примерах. В частности, правила действий с многочленами формируются в результате рассмотрения нескольких примеров, которые подготавливают общую словестную формулировку правила.

Пример 2 (доказательство типа б). Доказательства этого типа наиболее характерны для курса алгебры и одновременно наиболее просты. В них используются только сравнительно прочные навыки проведения действий с буквенными выражениями – «раскрыть скобки», «привести подобные слагаемые», «выделить общий множитель» и др. В силу своей простоты и доступности именно эти доказательства целесообразно проводить в развернутом виде, поясняя все сделанные переходы. При этом ученики смогут осознать смысл и приемы использования основных свойств арифметических действий.

Многие из утверждений, выражаемых формулами сокращенного умножения, допускают наглядно-геометрическую иллюстрацию. Целесообразно рассмотреть несколько примеров, моделируя на них алгебраические выкладки, и одновременно подчеркнуть, что алгебраическая формулировка и доказательство имеют большую область применимости – они охватывают и положительные и отрицательные числа, и нуль.

Пример 3 (доказательство типа в). Такие доказательства относятся к труднейшим в курсе школьной математики. Сложность их проведения обуславливается несколькими причинами. Наиболее существенная из них состоит в том, что в отличие от разобранных выше доказательств этого типа используют достаточно сложные логические средства.

В качестве примера рассмотрим доказательство свойства арифметического квадратного корня:

(1)

Доказательство опирается на следующую переформулировку определения квадратного корня: для неотрицательных чисел х, y равенства равносильны, при этом число y определено однозначно как функция от х. Из этой переформулировки следует, что (1) равносильно

(2)

Равенство (2) доказать уже сравнительно просто, однако приводящий к нему путь очень труден для учащихся.

Рассмотрим тождественные преобразования 7 класса на основе учебника по алгебре под редакцией С.А. Теляковского.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Поиск по сайту: