Тождества. Тождественные преобразования

Одна из важных идейных линий курса алгебры – линия тождественных преобразований. Поэтому обучение математике в 5-6 классах строится таким образом, чтобы учащиеся уже в этих классах приобрели навыки простейших тождественных преобразований (без употребления термина «тождественные преобразования»). Эти навыки формируются при выполнении упражнений на приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок и заключение в скобки, вынесение множителя за скобки и т. д. Рассматриваются также простейшие преобразования числовых и буквенных выражений. На этом уровне обучения осваиваются преобразования, которые выполняются непосредственно на основе законов и свойств арифметических действий.

В 5 классе изучаются законы и свойства действий над неотрицательными числами:

и т.д.

Приведем основные виды задач, при решении которых активно попользуются свойства и законы арифметических действий и через которые формируются навыки тождественных преобразований:

1) обоснование алгоритмов выполнения действий над числами изучаемых числовых множеств;

2) вычисление значений числового выражения наиболее рациональным способом;

3) сравнение значений числовых выражений без выполнения указанных действий;

4) упрощение буквенных выражений;

5) получение новых алгоритмов преобразований буквенных выражений;

6) доказательство равенства значений двух буквенных выражений.

Приведем несколько примеров.

1. Представьте число 153 в виде суммы разрядных слагаемых; и в виде разности двух чисел; в виде произведения двух чисел.

2. Представьте число 27 в виде произведений трех одинаковых множителей.

Эти упражнения на представление одного и того же числа в разных формах записи содействуют усвоению понятия о тождественных преобразованиях. Вначале эти представления могут быть произвольными, в дальнейшем – целенаправленными. Например, представление в виде суммы разрядных слагаемых используются для объяснения правил сложения натуральных чисел «столбиком», представление в виде суммы или разности «удобных» чисел – для выполнения быстрых вычислений различных произведений, представление в виде произведения множителей – для упрощения различных дробных выражений. Учащимся объясняется, что целесообразность тех или иных представлений зачастую обусловливается самой постановкой задачи.

3. Найдите значение выражения 928 ∙36 + 72 ∙ 36.

Для нахождения значения выражения целесообразно преобразовать его, применив распределительный закон:

928∙36 + 72∙36 =(928+ +72) ∙36= 1000∙36 = 36000.

4. Приведите подобные слагаемые:

5. Решите уравнение 7,2 – (6,2 – х) = 2,2.

6. Сколько арифметических действий выполняется при вычислениях по формулам:

Всегда ли при вычислениях по этим двум формулам мы получим одинаковые результаты?

7. Найдите значение выражения если

8. При каких значениях х верно равенство:

Изучение тождеств и тождественных преобразований проводится в тесной связи с изучением рассматриваемых в данном курсе числовых множеств. Задания от класса к классу усложняются, но в основном путем постепенного переплетения линии тождественных преобразований с числовой и линией уравнений.

Самые первые задания, в которых требуется выполнить тождественные преобразования, просты и понятны учащимся. В других заданиях цепочки преобразований удлиняются. От учащихся требуется объяснить каждый шаг преобразования, выделить общее положение, подтверждающее правильность произведенного преобразования, а порой объяснить необходимость того или иного обоснования. При выполнении упражнений уделяется внимание формулировке правил, свойств, законов, лежащих в основе данного преобразования, а также их записи в буквенно-символической форме. На первых порах обязательны вопросы к учащимся: «Какие правила, свойства, законы использовались при выполнении задания?», «Как они читаются?», «Как записываются с помощью символов?» и др.

В тождественных преобразованиях алгебраических выражений используются два правила: подстановки и замены равным. В данном курсе математики широко используется операция подстановки (на ней основан счет по формулам). Здесь нередко учащиеся ошибаются. Например, при нахождении числового значения выражения ab при а = 5 и b = – 3 учащиеся полагают, что получится 5 – 3 = 2. Предупреждению ошибок содействует тщательно проводимый анализ выражений (так же как и при решении задач, анализ их условия). На первых порах допущенные ошибки обязательно исправляются с детальным объяснением сущности данного правила подстановки. В дальнейшем учителя требуют от учащихся нахождения и самостоятельного исправления допущенной ошибки (с целью воспитания и развития профессиональных умений и навыков: самопроверки и самоконтроля), и обязательно навыки правильного выполнения операции закрепляются системой соответствующих упражнений. Заметим здесь также, что само по себе выполнение большого числа разнообразных упражнений не всегда обеспечивает получение желаемого результата в обучении и развитии учащихся. Умение пользоваться законами арифметических действий помогает учащимся строить индуктивные и дедуктивные умозаключения. Такой подход помогает учащимся выработать навыки применения алгебраического аппарата и приобрести необходимую логическую культуру.

Поиск по сайту: