АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Двох змінних

Читайте также:
  1. Введення змінних
  2. Визначення критичної суми постійних витрат, змінних витрат на одиницю продукції і критичного рівня ціни реалізації
  3. Вимірювання високих постійних і змінних напруг
  4. Границя функції декількох змінних
  5. Декількох змінних
  6. Диференціал функції декількох змінних
  7. Змінних
  8. Змінних. Необхідні умови екстремуму
  9. Знаходження прогнозних значень змінних
  10. Неперервність функції декількох змінних
  11. Обґрунтування форми зв'язку змінних і розрахунок параметрів теоретичної лінії регресії

Нехай маємо деяку поверхню , задану рівнянням

. (3.1)

Точка належить цій поверхні і входить в область визначення функції разом зі своїм якимось околом, а сама функція диференційована в точці , причому не всі частинні похідні в цій точці дорівнюють нулю, тобто

. (3.2)

Розглянемо довільну криву L, яка проходить через точку М 0, має дотичну в цій точці, лежить на поверхні (3.1) і задається рівняннями

,

причому точці М 0 відповідає значення параметра t 0.

Оскільки крива L лежить на поверхні, то координати її точок задовольняють рівнянню (3.1):

. (3.3)

На основі вищесказаного виконуються всі умови теореми по диференціювання складеної функції в точці t 0.

Тому, продиференціювавши рівність (3.3), отримуємо

. (3.4)

Ця рівність означає перпендикулярність векторів та , причому другий з них є напрямним вектором дотичної до кривої L в точці М 0.

Висновок 3.1. З рівності (3.4) випливає, що дотичні до всіх кривих, які лежать на поверхні (3.1) і проходять через точку М 0, перпендикулярні до одного й того самого вектора . Значить, усі ці дотичні лежать в одній і тій самій площині, яка називається дотичною площиною до поверхні в точці М 0.

Запишемо рівняння дотичної площини як рівняння площини, що проходить через точку М 0 перпендикулярно до вектора :

. (3.5)

Означення 3.1. Нормаллю до поверхні в точці М 0 називається пряма, що проходить через точку М 0 перпендикулярно до дотичної площини в цій точці.

Відповідно до цього означення запишемо рівняння нормалі як канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М 0 і має напрямний вектор :

. (3.6)

Зауваження 3.1. Ми розглянули випадок, коли функція (3.1) диференційована в точці М 0 і виконується (3.2). Якщо ці умови не виконуються в деякій точці (її називають особливою), то дотична площина та нормаль в такій точці можуть і не існувати.

Зауваження 3.2. Якщо для деякої функції рівняння (3.1) є поверхнею рівня, тобто , то вектор

буде напрямним вектором нормалі до цієї поверхні

Зауваження 3.3. Якщо рівняння поверхні задано в явній формі , то, взявши , маємо

, , .

Тоді рівняння (3.5) та (3.6) наберуть відповідно такого вигляду:

; (3.7)

. (3.8)

Розглянемо приклади.

Приклад 3.1. Записати рівняння дотичної площини та нормалі до гіперболоїда в точці .

Р о з в′ я з а н н я

В нашому випадку маємо , , , . Тому , , .

Значить, скориставшись рівняннями (3.5) та (3.6), шукані рівняння дотичної площини та нормалі матимуть вигляд:

або

;

або

.

Приклад 3.2. Записати рівняння дотичної площини та нормалі до параболоїда в точці .

Р о з в′ я з а н н я

В даному випадку , ,

. Отже, , .

Тому, підставивши обчислені значення в формули (3.7) та (3.8), після спрощень матимемо:

- рівняння дотичної площини;

- рівняння нормалі.

З¢ясуємо тепер геометричний зміст повного диференціала функції , диференційованої в точці . Поклавши , , рівність (3.7) можемо переписати так:

.

Права частина останньої рівності є повним диференціалом функції в точці , отже .

 

 

Таким чином, повний диференціал функції двох змінних у точці дорівнює приросту аплікати точки на дотичній площині до поверхні в точці , якщо від точки перейти до точки (рис. 3.1). В цьому полягає геометричний зміст повногодиференціала функції двох змінних.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)