Лінії та поверхні рівня
Більш наочним способом геометричного функції двох змінних порівняно з побудовою її графіка є спосіб за допомогою ліній однакового рівня.
Нехай функцію зображено деякою поверхнею. Перетнувши цю поверхню площиною , отримаємо деяку поверхню. Ортогональна проекція її на площину називається лінією рівня функції . Зрозуміло, що рівняння лінії рівня в площині матиме вигляд .
Надаючи с різних дійсних значень, щоразу діставатимемо на площині різні лінії рівня.
Чим більше побудовано ліній рівня, тим яскравіше можна уявити характер зміни функції, а саме, в тій частині області визначення функції, де густіше розміщені лінії рівня, функція швидше змінюється (частина поверхні крутіша), а там, де лінії рівня розміщені рідше, функція змінюється повільніше (частина поверхні пологіша).
Приклад 1.4. Для функції рівняння ліній рівня
матимуть вигляд
.
Очевидно, що це є рівняння кіл з центрами в початку координат і радіусами
. Отже, лініями рівня функції є концентричні кола (рис. 1.3).
Як уже відзначалось, функцію трьох змінних графічно зобразити не можна. Разом з тим, множина точок простору, в яких функція трьох змінних приймає одне і те саме значення, утворить деяку поверхню, яка називається поверхнею рівня. Таким чином, рівняння поверхні рівня для функції (1.2) матиме вигляд
.
Приклад 1.5. Для функції рівняння поверхонь рівня матимуть вигляд
. (1.3)
При рівняння (1.3) є рівнянням однопорожнинного гіперболоїда, при - рівнянням кругового конуса і при - рівнянням двопорожнинного гіперболоїда. 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | Поиск по сайту:
|