АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Змінних

Читайте также:
  1. Введення змінних
  2. Визначення критичної суми постійних витрат, змінних витрат на одиницю продукції і критичного рівня ціни реалізації
  3. Вимірювання високих постійних і змінних напруг
  4. Границя функції декількох змінних
  5. Двох змінних
  6. Декількох змінних
  7. Диференціал функції декількох змінних
  8. Змінних. Необхідні умови екстремуму
  9. Знаходження прогнозних значень змінних
  10. Неперервність функції декількох змінних
  11. Обґрунтування форми зв'язку змінних і розрахунок параметрів теоретичної лінії регресії

Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області D. Тоді за теоремою 1.2 вона обмежена і досягає своїх найменшого та найбільшого значень, тобто існує хоча б одна точка , в якій значення функції серед усіх інших значень є найменшим і існує хоча б одна точка , в якій значення функції серед усіх інших значень є найбільшим. Ці точки ще називаються відповідно точками глобального мінімуму та глобального максимуму, а значення функції в цих точках – глобальним мінімумом та глобальним максимумом.

Зазначимо, що теорема 1.2 не дає способу знаходження точок та , тоді як методи визначення екстремуму функції в окремих випадках дають змогу в деяких випадках знайти її найменше та найбільше значення.

Припустимо, що функція , крім перелічених вище умов, має ще й скінченні частинні похідні першого порядку в усіх внутрішніх точках області D. Якщо точка , в якій функція набуває свого найменшого (найбільшого) значення, знаходиться всередині області D, то вона є точкою екстремуму даної функції, тобто виконуються необхідні умови (5.5) існування екстремуму. Проте функція може набувати свого найменшого (найбільшого) значення в точках, які знаходяться на межі області.

Враховуючи вище сказане, дістаємо наступне правило.

Щоб знайти найменше (найбільше) значення функції ,визначеної і неперервної в обмеженій замкнутій області D, потрібно:

1) знайти всі внутрішні точки області D, в яких функція може мати екстремум, і, якщо цих точок скінченне число, обчислити значення функції в цих точках;

2) знайти, якщо це можна, значення функції, які є найменшим та найбільшим серед усіх значень функції, яких вона набуває на межі даної області;

3) серед усіх обчислених в п. 1) та 2) значень функції вибрати найменше та найбільше числа. Вони і будуть найменшим та найбільшим значеннями функції в області D.

Приклад 5.5. Знайти найменше та найбільше значення функції

(5.18)

в трикутнику, обмеженому прямими

Р о з в′ я з а н н я

Знайдемо спочатку стаціонарні точки даної функції. Координати кожної з таких точок є розв¢язками системи рівнянь виду (5.6). Так як

то система виду (5.6) буде такою:

Розв¢язком її буде



Отже, функція (5.18) має одну стаціонарну точку , яка знаходиться всередині заданого трикутника (рис. 5.1). Обчислюємо значення функції в цій точці:

.

Тепер досліджуємо нашу функцію на межі області, тобто на сторонах трикутника АВС.

І. Візьмемо сторону АВ. В цьому випадку , , тому задана функція (5.18) вироджується в функцію однієї змінної у, задану на відрізку :

Знаходимо точки, в яких функція може приймати найменше та найбільше значення і обчислюємо значення в цих точках.

,

звідки . Ця точка не належить відрізку , тому обчислюємо значення функції тільки на кінцях відрізка :

,

.

ІI. На стороні ВС маємо , отже функція (5.18) набуває вигляду

.

Тепер аналогічно до попереднього поступаємо з функцією на відрізку .

,

звідки . Ця точка знаходиться всередині відрізка . Тому обчислюємо

,

а також

.

уже обчислено вище.

ІII. На стороні АС , звідки . Значить, функція (5.18) виглядатиме так:

.

де х змінюється на відрізку . Оскільки на кінцях цього відрізка вище уже обчислено , то нам залишилось обчислити стаціонарні точки функції на відрізку та обчислити її значення в цих точках.

,

звідки , тому обчислюємо

.

Тепер серед усіх обчислених значень функції (5.18) вибираємо найменше та найбільше. Вони і будуть шуканими її найменшим та найбільшим значеннями в заданій області.

Отже,

, .

Зауваження 5.3. Ми детально вивчили екстремум на прикладі функції двох змінних. Відзначимо, що значна частина міркувань залишається справедливою і для функцій більше ніж двох змінних. Зокрема, правило знаходження найменшого (найбільшого) значення функції залишається таким самим, як і для функції двох змінних. Проте достатні умови існування екстремуму функції п > 2 змінних значно складніші, ніж достатні умови для функції двох змінних.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)