Диференціювання неявних функцій

Ми звикли вивчати функції однієї чи багатьох змінних, які задавались рівняннями, розв¢язаними відносно цієї функції, тобто рівнянням

,

якщо йшлося про функцію однієї змінної, чи рівнянням (1.1) або (1.2) для функції двох або трьох змінних.

Відзначимо, що часто функцію задають рівнянням, не розв¢язаним відносно цієї функції,

Означення 2.3. Нехай області визначення функції належить прямокутник . Якщо для кожного рівняння (2.25) має один і тільки один корінь з відрізка , то називається неявною функцією від х, заданою рівнянням (2.25).

Таким чином, якщо функція , задана рівнянням (2.25), є неявною, то для всіх виконується тотожність

. (2.27)

Теорема 2.7. Нехай функція визначена, неперервна та має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , причому , .

Тоді існує такий окіл точки , в якому рівняння (2.25) визначає єдину неявну функцію , неперервну та диференційовану в околі точки , і таку що .

Доведення цієї теореми опускаємо. Його можна знайти, наприклад, в [1].

Знайдемо похідну неявної функції. Відповідно до умов теореми, на деякому інтервалі, якому належить точка х ₀, виконується тотожність (2.27). так як похідна функції, що тотожно дорівнює нулю, також дорівнює нулю, то повна похідна . Але, використовуючи рівність (2.24), маємо , тому . Зокрема, в точці матимемо , звідки, оскільки , отримуємо

. (2.28)

Приклад 2.8. Знайти похідну функції, заданої рівнянням .

Р о з в′ я з а н н я. В нашому випадку

, ,

.

Значить, відповідно до формули (2.28), матимемо

.

Зауваження 2.8. Інколи буває, що функція задовольняє всім умовам теореми 2.7, тільки , але . Тоді рівняння (2.25) задає х як неявну функцію від у: . Ця функція має ті ж властивості, що й функція , зокрема, має неперервну частинну похідну

.

Ми розглянули питання про неявну функцію однієї змінної. Аналогічно можна розглянути неявну функцію багатьох змінних. Зупинимось, наприклад, на неявній функції двох змінних.

Розглянемо рівняння

(2.29)

Означення 2.4. Нехай області визначення функції належить паралелепіпед . Якщо для кожної точки з прямокутника рівняння (2.25) має один і тільки один корінь з відрізка , то називається неявною функцією від двох змінних х та у, заданою рівнянням (2.29).

Отже, якщо функція , задана рівнянням (2.29), є неявною, то для всіх точок з прямокутника виконується тотожність

.

Аналогічно до теореми 2.7 має місце наступна

Теорема 2.8. Нехай функція визначена, неперервна та має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , причому , .

Тоді існує такий окіл точки , в якому рівняння (2.29) визначає єдину неявну функцію , неперервну та диференційовану в околі точки , і таку що .

Доведення цієї теореми також опускаємо. Відзначимо, що воно аналогічне доведенню теореми 2.7.

Знайдемо частинні похідні неявної функції z від х та у, заданої рівнянням (229). Коли визначаємо (або ), то змінну у (або х) вважаємо сталою, тому, використовуючи (2.28), отримуємо:

(2.30)

Приклад 2.8. Знайти повний диференціал функції , якщо

. (2.31)

Р о з в′ я з а н н я. Очевидно, рівність (2.31) можна переписати так: . Тому в нашому випадку маємо

, , ,

.

Значить, відповідно до формул (2.30), знаходимо

,

,

звідки, використовуючи (2.11), отримуємо

.

Зауваження 2.9. Якщо умова не виконується, зате, наприклад, і виконуються всі інші умови теореми 2.8, то рівняння (2.29) в околі точки задає х як функцію двох змінних . При цьому , .

Лекція 3 Деякі застосування частинних

Поиск по сайту: