АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Диференціал функції декількох змінних

Читайте также:
  1. III. Соціальна політика, її сутність і функції.
  2. АБСТРАКТНІ КЛАСИ І ЧИСТІ ВІРТУАЛЬНІ ФУНКЦІЇ_________________________________________
  3. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  4. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  5. Алгоритм знаходження функції, оберненої до даної.
  6. Банківська система. Банки, їх види та функції
  7. Банківська система. Банки, їх види та функції
  8. Біржова торгівля. Товарна та фондова біржа, їх функції та значення
  9. Бухгалтерські рахунки, їх призначення, функції і побудова
  10. Бюджетно-податкова політика забезпечує найважливіші економічні функції держави, які формують її дієздатність в економічній політиці:
  11. Введення змінних
  12. Вивід декількох графіків в одне графічне вікно

Нехай функція диференційована в точці . Тоді її повний приріст в цій точці можна записати у вигляді (2.7)

Означення 2.2. Вираз

(2.8)

називається повним диференціалом функції в точці .

Відзначимо, що, крім записаного позначення часто повний диференціал позначають .

Якщо - довільна точка області D, в якій функція диференційована, то повний диференціал в цій точці записуватимемо

. (2.9)

Зауваження 2.4. Якщо покласти за означенням , , то повний диференціал в довільній точці запишеться у вигляді

(2.10)

або

. (2.11)

Розглянемо приклади.

Приклад 2.2. Знайти повний диференціал функції в точці .

Р о з в′ я з а н н я

В прикладі 1.10 а) ми знайшли частинні похідні заданої функції. Значення їх в заданій точці дорівнюватимуть:

, .

Тоді, відповідно до (2.10), шуканий диференціал в заданій точці буде таким:

.

Зауваження 2.5. Як бачимо з (2.11), повний диференціал функції двох змінних дорівнює сумі добутків частинних похідних по кожному з аргументів на диференціали цих аргументів. Так само визначається повний диференціал функції більшої кількості аргументів. Зокрема, повний диференціал для функції трьох змінних у випадку її диференційованості виглядатиме так:

. (2.12)

Приклад 2.3. Знайти повний диференціал функції .

Р о з в′ я з а н н я

Підставивши знайдені в прикладі 1.10 б) частинні похідні для заданої функції в (2.12), отримаємо

Займемось оцінкою двох останніх доданків правої частини рівності (2.7).

Розглянемо величину . Зрозуміло, що тоді і тільки тоді, коли одночасно та .

Суму двох останніх доданків правої частини (2.7) можна записати в такому вигляді:

. (2.13)

Позначимо

. (2.14)

Оскільки , , а на основі рівностей (2.2) та при , то й

при . (2.15)

З врахуванням (2.8), (2.13) та (2.14) рівність (2.7) можемо переписати так:

. (2.16)

Тоді .

Висновок 2.1. Отже, у випадку диференційованості функції в деякій точці різниця між її повним приростом та повним диференціалом в цій точці є нескінченно малою вищого порядку, ніж , при . Тому повний диференціал функції dz ще називають головною частиною приросту функції.

Відповідно до зробленого висновку можемо записати



,

або

. (2.17)

Цю формулу використовують для наближеного обчислення значення функції в незручній для обчислення точці через значення функції та її частинних похідних в зручнішій для обчислення точці . Зрозуміло, що чим точка М0 ближча до точки М, тим наближена рівність (2.17) точніша.

Приклад 2.4. Обчислити наближено .

Р о з в′ я з а н н я

Розглянемо функцію двох змінних .

Очевидно, нам потрібно знайти значення цієї функції в точці М(2,04; 0,97). В точці М0(2; 1) значення функції обчислюється легко:

.

Отже, візьмемо: .

Тоді .

Знайдемо частинні похідні розглядуваної функції:

.

Значення цих частинних похідних в точці М0(2; 1) дорівнюватимуть:

.

Підставивши обчислені значення в (2.17), знаходимо

.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)