Диференціал функції декількох змінних

Нехай функція диференційована в точці . Тоді її повний приріст в цій точці можна записати у вигляді (2.7)

Означення 2.2. Вираз

(2.8)

називається повним диференціалом функції в точці .

Відзначимо, що, крім записаного позначення часто повний диференціал позначають .

Якщо - довільна точка області D, в якій функція диференційована, то повний диференціал в цій точці записуватимемо

. (2.9)

Зауваження 2.4. Якщо покласти за означенням , , то повний диференціал в довільній точці запишеться у вигляді

(2.10)

або

. (2.11)

Розглянемо приклади.

Приклад 2.2. Знайти повний диференціал функції в точці .

Р о з в′ я з а н н я

В прикладі 1.10 а) ми знайшли частинні похідні заданої функції. Значення їх в заданій точці дорівнюватимуть:

, .

Тоді, відповідно до (2.10), шуканий диференціал в заданій точці буде таким:

.

Зауваження 2.5. Як бачимо з (2.11), повний диференціал функції двох змінних дорівнює сумі добутків частинних похідних по кожному з аргументів на диференціали цих аргументів. Так само визначається повний диференціал функції більшої кількості аргументів. Зокрема, повний диференціал для функції трьох змінних у випадку її диференційованості виглядатиме так:

. (2.12)

Приклад 2.3. Знайти повний диференціал функції .

Р о з в′ я з а н н я

Підставивши знайдені в прикладі 1.10 б) частинні похідні для заданої функції в (2.12), отримаємо

Займемось оцінкою двох останніх доданків правої частини рівності (2.7).

Розглянемо величину . Зрозуміло, що тоді і тільки тоді, коли одночасно та .

Суму двох останніх доданків правої частини (2.7) можна записати в такому вигляді:

. (2.13)

Позначимо

. (2.14)

Оскільки , , а на основі рівностей (2.2) та при , то й

при . (2.15)

З врахуванням (2.8), (2.13) та (2.14) рівність (2.7) можемо переписати так:

. (2.16)

Тоді .

Висновок 2.1. Отже, у випадку диференційованості функції в деякій точці різниця між її повним приростом та повним диференціалом в цій точці є нескінченно малою вищого порядку, ніж , при . Тому повний диференціал функції dz ще називають головною частиною приросту функції.

Відповідно до зробленого висновку можемо записати

,

або

. (2.17)

Цю формулу використовують для наближеного обчислення значення функції в незручній для обчислення точці через значення функції та її частинних похідних в зручнішій для обчислення точці . Зрозуміло, що чим точка М ₀ ближча до точки М, тим наближена рівність (2.17) точніша.

Приклад 2.4. Обчислити наближено .

Р о з в′ я з а н н я

Розглянемо функцію двох змінних .

Очевидно, нам потрібно знайти значення цієї функції в точці М (2,04; 0,97). В точці М ₀(2; 1) значення функції обчислюється легко:

.

Отже, візьмемо: .

Тоді .

Знайдемо частинні похідні розглядуваної функції:

.

Значення цих частинних похідних в точці М ₀(2; 1) дорівнюватимуть:

.

Підставивши обчислені значення в (2.17), знаходимо

.

Поиск по сайту: