Расчет интервала дискретности по времени Dt

Погрешность восстановления зависит от характера непрерывного сигнала X(t) и от используемого способа восстановления. Для восстановления используются интерполяционные и фильтрационные способы. Наиболее часто используется восстановление по теореме Котельникова, ступенчатая, линейная и кубичная сплайн-интерполяция.

а)восстановление по теореме Котельникова

В теореме Котельникова доказывается, что непрерывный сигнал может быть восстановлен абсолютно точно по дискретным отсчетам. Условия восстановления:

§ непрерывный сигнал имеет ограниченный частотный спектр;

§ отсчеты взяты через равные интервалы времени;

§

В результате каждому значению дискретизированного сигнала будет посталена в соответствие функция типа интегрального синуса (см. примеры на рис. 87 и 88).

Рис. 87

Рис. 88

После суммирования таких функций получим точное восстановление исходного непрерывного сигнала по дискретным отсчетам (см. рис. 89 и 90).

Рис. 89

Рис. 90

Реализовать абсолютно точное восстановление непрерывного сигнала по дискретным отсчетам с использованием теоремы Котельникова, однако, невозможно по следующим причинам:

§ Сигналы, ограниченные во времени, имеют бесконечный частотный спектр;

§ Значения X(l*Dt) известны с погрешностью.

б) с помощью ступенчатой интерполяции

Рис. 91

Погрешность восстановления может быть оценена величиной

Отсюда

Для гармонического сигнала

имеем:

Отсюда

в) с помощью линейной интерполяции.

Рис. 92

При использовании линейной интерполяции восстановление

непрерывного сигнала по дискретным отсчетам производится по формуле:

Погрешность восстановления можно оценить величиной остаточного члена разложения в ряд Тейлора:

Отсюда

Для гармонического сигнала

Отсюда

г) с помощью кубичной сплайн-интерполяции (в переводе spline означает «гибкая линейка»)

Попытка аппроксимации массива данных полиномом более высокой, чем вторая, степени не дает положительного результата. Однако если применить сплайновую интерполяцию, то картина кардинально меняется. На этот раз кусочная линия интерполяции прекрасно проходит через все точки. Даже ее пики воспроизводятся удивительно точно, причем и в случаях, когда на них не попадают узловые точки.

Причина столь великолепного результата кроется в уже отмеченных ранее особенностях сплайновой интерполяции - она выполняется по трем ближайшим точкам, причем эти тройки точек постепенно перемещаются от начала точечного графика функции к ее концу. Кроме того, непрерывность первой и второй производных при сплайновой интерполяции делает кривую очень плавной, что характерно и для первичной функции. Сплайн-интерполяция используется для представления данных отрезками полиномов невысокой степени — чаще всего третьей. При этом кубическая интерполяция обеспечивает непрерывность первой и второй производных результата интерполяции в узловых точках. Из этого вытекают следующие свойства кубической сплайн-интерполяции:

§ график кусочно-полиномиальной аппроксимирующей функции проходит точно через узловые точки;

§ в узловых точках нет разрывов и резких перегибов функции;

§ благодаря низкой степени полиномов погрешность между узловыми точками обычно достаточно мала;

§ связь между числом узловых точек и степенью полинома отсутствует;

§ используется множество полиномов, появляется возможность аппроксимации функций с множеством пиков и впадин.

График интерполирующей функции при этом виде интерполяции можно уподобить кривой, по которой изгибается гибкая линейка, закрепленная в узловых точках.

Оценку погрешности при сплайн-интерполяции дает следующее утверждение:

Если интерполируемая функция f(x) Î C⁴[a,b], то для функции погрешности R(x)=f(x)-g(x) справедливо неравенство:

где

Отсюда получаем условие выбора шага дискретности по времени:

Поиск по сайту: