Основные законы механики

2.1 Законы Ньютона

2.1 Законы Ньютона

Первый закон называют законом инерции: всякое тело сохраняет состояние относительного покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние воздействия не изменят этого состояния.

При отсутствии внешних воздействий тело, находившееся в движении, продолжает равномерно двигаться по прямой без изменения скорости. Это инерционное движение тела.

Под инерцией понимают явление, при котором тело сохраняет состояние равномерного прямолинейного движения или покоя, если отсутствуют действия на него других тел. Однако проверить опытным путём первый закон мешают внешние воздействия, например притяжение Земли, сопротивление среды, окружающей движущее тело.

Второй закон Ньютона, устанавливающий связь между динамическими и кинематическими величинами, формулируется следующим образом: ускорение , приобретаемое телом под действием силы , пропорционально этой силе, и обратно пропорционально массе m этого тела:

. (2.1)

Из этого закона следует, что чем больше масса тела , тем меньшее ускорение приобретает данное тело под влиянием приложенной силы, т.е. это тело более инертно. Масса тела характеризует инерционные свойства тела при поступательном движении и является мерой его инертности.

В практике на тело может действовать одновременно несколько сил. Однако каждая из этих сил действует независимо от других сил и сообщает телу ускорение, определяемое вторым законом Ньютона. В этом заключается принцип независимости действия сил, согласно которому можно записать

Рисунок 2.1

, (2.2)

где называется равнодействующей (или результирующей) сил, приложенных к телу (см. рисунок 2.1) На основе этого принципа возникает возможность разложить силу на составляющие и рассматривать их действие отдельно.

В скалярной форме второй закон можно записать так:

,

откуда

, (2.3)

т.е. ускорение численно равно произведению массы тела на силу.

Второй закон Ньютона можно записать и в другой форме, т.к. , тогда

, (2.4)

Если масса является постоянной величиной, то ее можно внести под знак дифференциала, получим

. (2.5)

Вектор называется импульсом или количеством движения тела и совпадает по направлению с вектором скорости , а выражает изменение вектора импульса. Это уравнение преобразуем к следующему виду:

. (2.6)

Вектор называют импульсом силы , действующей в течение малого промежутка времени , и имеет с силой одно направление. Из уравнения (2.6) также являющимся выражением основного закона динамики следует: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу действующей на него силы.

Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны и направлены на противоположные стороны, т.е.

. (2.7)

Следует отметить, что сила – это сила, с которой второе тело действует на первое, и приложена эта сила к первому телу, а – это сила, с которой первое тело действует на второе, и приложена она ко второму телу, поэтому эти силы не уравновешивают друг друга.

Рисунок 2.2

При взаимодействии тел наблюдается как прямое действие, так и действие на расстоянии. При прямом действии, например при ударе молота о наковальню, сила, с которой молот, действует на наковальню, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой наковальня действует на молот. Примером действия на расстоянии является взаимное притяжение Земли и Солнца (см. рисунок 2.2).

2.2 Закон сохранения импульса

Совокупность взаимодействующих тел называется системой тел. Внешние силы – это силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в неё. Внутренние силы – это силы, возникающие в результате взаимодействия тел, входящих в систему.

Замкнутой системой тел называют систему, на которую не действуют внешние силы.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Обозначим массу первой точки , её скорость до взаимодействия , после взаимодействия ; соответственно второй точки , её скорости до и после взаимодействия и .

Согласно второму закону Ньютона, можно записать:

Складывая эти уравнения, получим следующее выражение:

Поскольку и – это внутренние силы системы двух материальных точек, то по третьему закону Ньютона . Тогда выражение , следовательно, или . Поскольку дифференциал постоянной величины равен нулю, то

. (2.8)

Последнее равенство выражает закон сохранения импульса, который формулируется следующим образом: полный импульс замкнутой системы тел постоянная величина, т.е. со временем не меняется или внутренние силы системы не могут изменить полного импульса замкнутой системы.

Следовательно, если у одного из тел в замкнутой системе изменился импульс, то это могло произойти только за счёт изменения импульсов других тел этой системы. Обратите внимание, что закон сохранения импульса – это векторный закон.

2.3 Различные виды сил в механике

При изучении механических процессов рассматриваются различные силы, отличающиеся своим происхождением.

Гравитационное взаимодействие. Закон всемирного тяготения формулируется следующим образом: Любые две материальные точки взаимодействуют с силой, пропорциональной произведению их масс ( и ) и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:

. (2.9)

Коэффициент пропорциональности называется гравитационной постоянной. Опытным путём установлено, что численное значение гравитационной постоянной равно .

Каждое находящееся на Земле тело массы притягивается к Земле под действием силы, направленной к её центру и равной:

,

где – масса Земли, – радиус Земли, если тело находится вблизи поверхности Земли. Данную силу называют силой тяжести и символически записывают так: , где называется ускорением свободного падения. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения . Из этой формулы вытекает, что ускорение свободного падения не зависит от массы и размеров тел, находящихся вблизи поверхности Земли.

Силы упругости. Под действием силы тело может деформироваться, т.е. одна его часть может смещаться относительно другой. При этом внутри деформированного тела возникает противодействующая сила равная по величине деформирующей силе и называемая силой упругости или упругой силой. Опыт показывает, что величины упругой силы, возникающей при малых смещениях от положения равновесия пропорциональны друг другу, т.е.

. (2.10)

где – коэффициент упругости, зависящий от свойств материала тела. Это соотношение называется законом Гука. Знак минус указывает на противоположность направлений упругой силы и смещения.

В качестве примера упругого тела можно рассмотреть вертикально расположенную пружину, один конец которой закреплён, а к другому подвешивается груз. Если отпустить груз, то пружина растянется – ее длина увеличится на величину (см. рисунок 2.3) .

Рисунок 2.3

В пружине при этом возникает упругая сила , стремящаяся возвратить груз в исходное положение. Упругая сила всегда направлена к положению равновесия тела.

Сила трения – эти силы вызываются взаимодействием молекул соприкасающихся тел. Силы трения направлены вдоль соприкасающихся поверхностей и зависят от относительной скорости, причем они всегда направлены в сторону, противоположную скорости.

Сила трения, возникающая при скольжении сухих поверхностей относительно друг друга, зависит от их состояния и от величины силы, перпендикулярной к поверхностям и сжимающей их, этой силой является нормальная составляющая силы тяжести. Приближенно можно записать

, (2.11)

где – нормальная составляющая силы тяжести, – коэффициент трения. При движении твердых тел в жидкостях и газах возникают силы трения, которые при малых скоростях пропорциональны скорости

, (2.12)

(вместо m₁ µ)

а при больших скоростях – ее квадрату

. (2.13)

2.4 Работа, совершаемая постоянной силой

В физике работа имеет строго определённый смысл. Если мы прикладываем к телу силу и перемещаем его на определённое расстояние, то говорят, что совершается работа.

Работа, совершаемая постоянной (как по величине, так и по направлению) силой при перемещении тела определяется

, (2.14)

– постоянная сила, – результирующее перемещение, – угол между направлениями силы и перемещения (см. рисунок 2.4).

Рисунок 2.4

Работа – это скалярная величина. Если вектор силы и направление перемещения образуют острый угол (), то работу считают положительной. Если угол – тупой (), то работа отрицательна. Сила может быть приложена к телу и не совершать при этом работы. Например, если вы держите в руках тяжелую сумку с продуктами и не двигаетесь, то вы не совершаете работы; вы можете устать (и действительно ваши мускулы расходуют энергию), но, поскольку сумка остается в покое (т.е. ее перемещение равно нулю), работа . Не совершается работа и при условии, что угол между направлением действия силы и перемещением равен т.е. сила, действующая перпендикулярно к перемещению тела, работы не производит.

2.5 Работа, совершаемая переменной силой

Рисунок 2.5

Во многих случаях в процессе движения сила меняется по величине или направлению. Допустим, материальная точка движется по траектории, изображенной на рисунке 2.5, при этом в разных точках траектории сила, действующая на материальную точку различна по направлению и величине. Чтобы найти совершаемую работу в этом случае, нужно всю траектории разделить на бесконечно малые прямолинейные участки , на которых силу можно считать величиной постоянной, тогда на каждом из этих малых участков совершается работа , где – это угол между вектором силы и вектором бесконечно малого перемещения в данном месте траектории. Поскольку работа – это скалярная величина, то чтобы найти работу, совершенную на конечном отрезке пути , нужно просуммировать работы, совершенные на участках или проинтегрировать выражение . Выполняя эту операцию, получим

. (2.15)

Единицей измерения работы является джоуль (Дж). Джоуль представляет собой, работу движущей силы в 1 ньютон на отрезке пути в 1 метр:

1Дж=1Н∙1м

Для характеристики скорости выполнения работы вводят понятие мощности.

Мощность – это физическая величина численно равная работе, совершенной в единицу времени:

. (2.16)

Единица мощности – 1ватт (Вт). Легко показать, что 1Вт=1Дж/с.

2.6 Энергия

Запасенная работоспособность тела в механике называется энергией.

Изменение энергии системы тел всегда оценивается работой, совершенной внешними силами, приложенными к системе:

. (2.17)

Энергия измеряется в тех же единицах, что и работа.

Когда работа внешних сил положительна (), то энергия системы возрастает и, наоборот, Если работа внешних сил отрицательна (система совершает работу), то энергия системы убывает. Следовательно, система может совершать работу только за счет изменения своей энергии.

Различают два вида механической энергии:

1) кинетическая энергия – это энергия, которой обладают движущиеся тела;

2) потенциальная энергия – это энергия, которая характеризует взаимодействие тел или отдельных частей тела.

2.7 Кинетическая энергия

Движущееся тело может совершить работу над другим телом, с которым оно соударяется, например, движущийся молоток забивает гвоздь; летящее пушечное ядро разбивает стену и т.д. В любом из этих случаев движущееся тело действует с определенной силой на второе тело и перемещает его на некоторое расстояние, т.е. совершает работу. Поэтому мы говорим, что движущееся тело обладает кинетической энергией. Для того чтобы, получить количественное выражение для кинетической энергии, вычислим работу, которую может совершить движущееся тело в частном случае одномерного движения. Пусть тело массой движется вдоль прямой со скоростью и ударяет второе тело. Поскольку на второе тело подействует сила, то второе тело изменит скорость своего движения, т.е. первое тело совершит работу, перемещая второе тело. Найдем выражение этой работы

,

так как сила изменяет скорость движения второго тела, то она сообщает ему ускорение, поэтому согласно 2-му закону Ньютона , подставим это значение силы в выражение для работы:

, но лению совпадает сравно тангенциальному ускорению, так как по направ направлением скорости, поэтому . Тогда выражение для работы можно записать следующим образом,

. (2.18)

Величина называется кинетической энергией. Таким образом, работа численно равна изменению кинетической энергии тела, т.е. работа, совершенная над телом, всегда изменяет его кинетическую энергию:

. (2.19)

С другой стороны можно сказать, что если у тела меняется кинетическая энергия, то тело совершает работу.

Поиск по сайту: