Консервативные силы

Силы можно разделить на два класса – консервативные и неконсервативные силы. Любая сила называется консервативной, если

a) она зависит только от положения тела, на которое действует и

б) если производимая ею работа над частицей, перемещающейся между любыми двумя точками в пространстве, зависит только от начального и конечного положений частицы и, следовательно, не зависит от формы ее траектории.

Рисунок 2.6

На рисунке 2.6a – частица перемещается из точки 1 в точку 2 двумя различными путями А и В; на рисунке 2.6б – частица перемещается по замкнутому контуру из точки 1 в точку 2 по пути А и обратно из точки 2 в точку 1 по пути В.

Имеется еще одно эквивалентное определение

консервативной силы: это такая сила, работа которой над

телом при его перемещении по любой замкнутой

траектории, когда тело возвращается в исходное положение,

всегда равна нулю. (Такое перемещение можно назвать

«кругосветным путешествием».) Чтобы доказать, что это

определение эквивалентно данному ранее, рассмотрим

частицу, перемещающуюся из точки 1 в точку 2 по двум

путям, обозначенным А и В на рис. 7.1, а. Если мы

предположим, что на частицу действует консервативная

сила, то, согласно первому определению, работа,

совершаемая ею при перемещении частицы по пути А, такая же,

как и по пути В. Обозначим эту работу по перемещению

частицы из точки 1 в точку 2 через W. Пусть теперь

частица движется по замкнутому пути (рис. 7Л,б). Из

точки 1 в точку 2 частица движется по пути А, причем

сила совершает работу W. Далее частица возвращается из

точки 2 в точку 1 по пути В. Какую работу совершает при

этом сила? При перемещении частицы из точки 1 в точку 2

по пути В производится работа, которая по определению

равна \\ F • dl. При обратном движении частицы из точки 2

в точку 1 сила F в каждой точке та же самая, что и при

перемещении из 1 в 2, но при этом направление dl

меняется на обратное. Следовательно, в каждой точке

произведение F-dl имеет противоположный знак, т.е.

работа на обратном пути из точки 2 в точку 1 равна — W.

Таким образом, полная работа, совершаемая при

перемещении частицы из точки 1 в точку 2 и обратно, равна

W+ (— W) = О, что доказывает эквивалентность двух

приведенных выше определений консервативной силы1).

Второе определение консервативной силы выявляет

важное ее свойство: работа консервативной силы является

обратимой в том смысле, что если на каком-либо участке

пути частицей совершается работа над другими телами,

то на обратном пути на этом участке будет совершена

точно такая же работа над нашей частицей.

Выше

Отсюда следует, что работа консервативной силы над телом при его перемещении по любой замкнутой траектории, когда тело возвращается в исходное положение, всегда равна нулю. Таким образом, работа консервативной силы является обратимой в том смысле, что если на каком-либо участке пути частицей совершается работа над другими телами, то на обратном пути, на этом участке будет совершена точно такая же работа над нашей частицей.

К неконсервативным силам относится сила трения. Работа, совершаемая при перемещении тяжелого ящика вдоль горизонтального пола, равна произведению силы трения на полный путь, пройденный ящиком, поскольку сила трения в каждой точке траектории направлена точно против движения. Следовательно, работа силы трения при перемещении тела из одной точки в другую вдоль прямой, соединяющей эти точки, меньше, чем работа, совершаемая при перемещении тела по искривленной траектории, например по полуокружности.

Консервативными являются сила тяжести и сила упругости. Рассмотрим работу, совершаемую силой тяжести.

Рисунок 2.7

Предположим, что тело перемещается по некоторой произвольной траектории в плоскости (см. рисунок 2.7б). Оно начинает движение в точке с вертикальной координатой (высотой) и достигает высоты , причем . С помощью формулы (2.15) вычислим работу , совершаемую в этом процессе силой тяжести:

.

Обозначим через угол между вектором перемещения и его вертикальной составляющей , как показано на рисунке 2.6,б; тогда, учитывая, что и , находим

.

Поскольку – высота по вертикали, мы видим, что работа зависит только от высоты и вовсе не зависит от конкретной выбранной траектории.

2.9 Потенциальная энергия

Потенциальная энергия связана с взаимным расположением тел в данной системе и также как кинетическая энергия может измеряться работой, которую может совершить система, переходя из одного состояния в другое. Поскольку потенциальная энергия отражает взаимодействие тел или отдельных частей тел, то при вычислении работы необходимо учитывать природу силы, за счет которой осуществляется взаимодействие. Поэтому количественное выражение потенциальной энергии для различных сил будет разным.

Найдем выражение потенциальной энергии для упруго сжатой (упруго растянутой) пружины. В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (например, от расстояния между соседними витками пружины). Для того чтобы найти потенциальную энергию упруго сжатой пружины, необходимо вычислить работу, которая была затрачена на накопление этой энергии. Так как упругая сила зависит от степени сжатия или растяжения , то выражение для работы при перемещении тела можно записать:

. (2.20)

Интегрируя последнее выражение от начального значения растяжения до конечного значения растяжения , получаем

, (2.21)

где – это выражение потенциальной энергии пружины.

Потенциальной энергией обладают и тела, поднятые над поверхностью Земли. Для поднятия тела массы на высоту необходимо совершить работу (при условии, что )

, (2.22)

данная работа пойдет на увеличение энергии системы тело-Земля, т.е.

.

Считая, что в состоянии, когда тело находилось на поверхности Земли, потенциальная энергия системы , получим . Таким образом, потенциальная энергия тела, поднятого на высоту над поверхностью Земли равна

. (2.23)

При выводе данной формулы предполагалось, что ускорение свободного падения является величиной постоянной. Следует отметить, что значение потенциальной энергии зависит от выбора системы отсчета.

При вычислении потенциальной энергии упругой пружины рассматривалась работа, совершаемая внутренними силами системы. Поэтому при определении потенциальной энергии поднятого тела над Землей также целесообразно перейти к внутренним силам системы. При поднятии тела над Землей скорость движения тела постоянна, то внешняя сила , т.е. для внутренних сил системы (в данном случае внутренней силой является сила тяжести) совершенная работа будет отрицательной.

Таким образом, работа, совершенная внутренними силами системы, и изменение потенциальной энергии связаны следующим образом:

. (2.24)

Поиск по сайту: