ВВЕДЕНИЕ. Теория колебаний, как самостоятельная дисциплина, оформилась в 30-х гг

Теория колебаний, как самостоятельная дисциплина, оформилась в 30-х гг. нашего столетия. В 1931 году советский ученый акаде­мик Л.Н. Мандельштам впервые прочитал курс лекций по теории колеб­аний.

Первые исследования колебательных процессов связаны с именами Г.Галилея и Х. Гюйгенса и относились к изучению колебаний маятника. XVIII- XIX вв. изучались в основном механические колебания. Наибольший вклад внес английский физик Рэлей. Его труд “Теория звука”, написанный в 80-х годах прошлого столетия, завершил теорию малых колебаний. Первые работы по теории нелинейных колебаний, связанной с небесной механикой, принадлежат французскому математику А. Пуан­каре. Большое влияние на развитие теории колебаний оказали работы по устойчивости движения русского математика А.М. Ляпунова. Бурное развитие радиотехники в начале нашего столетия стимулировало развитие нелинейной теории колебаний. Первые ощутимые результаты были получены голландским ученым Ван-дер-Полем.

При этом каждый из вышеназванных исследователей использовал свои математические подходы к описанию колебательных процессов.

Поэтому в 30-х гг. прошлого столетия возникла идея объединения результатов исследования различных по своей природе колебательных процессов в рамках единой теории.

Строгое обоснование его результатов, а главное создание общей теории колебаний, принадлежит академику Мандельштаму. Значительный вклад в развитие теории колебаний внесли советские ученые, ученики Мандельштама: академик А.А. Андронов, К.Ф. Теодорчик, В.В. Мигулин и другие.

Отличительной особенностью теории колебаний является то, что отсутствует разделение колебательных систем на электрические и механические. Поэтому специалисты, владеющие вышеуказанной теорией легко осваивают новые специальности, что в условиях рыночной экономики является важным фактором.

В настоящее время теория колебаний является классической дис­циплиной и читается во многих ВУЗах. Ее методы оказываются весьма плодотворными в различных разделах науки и техники.

Цель курса – исследование колебательных процессов в различных динамических системах.

Методы анализа, применяемые в теории колебаний, будут даваться без доказательств, а их изложение носит справочный характер. Поскольку курс читается студентам радиотехнических специальностей, пред­почтение отдается изучению радиоэлектронных динамических систем. Однако понимание сущности явлений позволит быстро разобраться в физике процесса любой другой системы, как электрической, так и механической.

Итак, что же является предметом изучения в теории колебаний?

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с движением физических объектов. Даже то, что не способно изменять свое местоположение в пространстве, тем не менее, находится в постоянном движении. Примером таких систем могут служить различные по своему происхождению предметы. Деревья, мачты освещения, телевизионные антенны совершают движения вблизи своего состояния равновесия под действием внешних факторов. И это только то – что доступно человеческому взору. Аналогичные процессы происходят внутри сложных механических и электрических систем, которыми мы тоже пользуемся в своей повседневной жизни.

Поэтому, прежде чем приступать к изложению конкретных вопросов, необходимо дать определение термина «колебание».

Наиболее распространенным в настоящее время и общепринятым является следующее определение.

Колебание – это ограниченное, повторяющееся движение системы около некоторого состояния (состояния равновесия).

Ранее было сказано, что в теории колебаний нет разделения колебательных систем на механические и электрические.

Колебательные процессы, в теории колебаний,классифицируется по кинематическим признакам: форме и периоду колебаний. Будем считать, что колебательный процесс описывается функцией времени . Процесс будет периодическим, если он описывается периодической функцией. По определению периодическая функция удовлетворяет условию (1) при любом Т.

(В.1)

Наименьшая постоянная Т называется периодом. Если колебание не удовлетворяет условию (В.1), то колебание является не периодическим. Таким образом, все колебательные процессы делятся на два больших класса периодические и непериодические.

Среди периодических колебаний особое место занимают гармонические колебания. Это связано с тем, что гармонические колебания являются наиболее естественными колебаниями, которые встречаются в природе. По этой причине получить и использовать данный вид колебаний достаточно просто. К тому же с точки зрения математики описание гармонических колебаний и дальнейшее их исследование не вызывает никаких трудностей.

Если колебание может быть описано в виде

(В.2)

или

, (В.3)

где ω - круговая частота.

Кроме того, существует класс почти периодических колебаний. Функции, описывающие эти колебания, удовлетворяют условию

, (В.4)

где – заданная положительная малая величина, – «почти период».

Примером таких колебаний могут служить затухающие колебания, для которых условие (1) не выполняется из-за того, что с каждым новым периодом амплитуда колебаний будет уменьшаться. Однако, как видно из рис.1, близка к периодической.

Колебания такого вида могут быть описаны следующей формулой:

, (В.5)

где – коэффициент затухания.

В настоящее время интенсивно изучаются случайные колебания, но модели и методы исследования в этой области отличны, от классической теории колебаний и поэтому рассматриваться не будут.

Классификация по кинематическим признакам не является единственной, так как не может отразить все или большинство свойств колебаний. Более разнообразной и содержательной является классификация по признакам, присущим динамическим системам.

Но необходимо подчеркнуть, что классификация относится к моделям, а не к реальным системам. Поэтому прежде чем рассматривать отдельные признаки динамических систем, ниже будут рассмотрены примеры построения моделей двух различных по своей физической природе колебательных систем: физического маятника (механическая система) и колебательного контура (электрическая система).

Теория колебаний как и любая другая теория включает в себя следующие четыре этапа.

Первый и особенно важный - это выбор модели реальной системы. Построение модели достаточно простой, но отражающей суть, является творчеством, требует глубокого понимания предмета исследования, и предложить здесь какой, либо рецепт невозможно. Ниже на примерах маятника, контура будет показано, как создается физическая модель реальной системы.

Второй этап - математическое описание модели. На этом этапе основные физические признаки описанные на первом этапе переводятся на язык математических формул. В результате чего получается математическая модель динамической системы, представляющее из себя уравнение или систему уравнений.

Третий этап – математический. Ищется решение уравнения - точное или приближенное. Приводится анализ решения.

Четвертый этап - сравнение результатов теории с экспериментом. Если совпадение удовлетворительное, говорят о том, что теория явления построена. Если результаты расчета не согласуются с экспериментом, значит модель не адекватна явлению и требует уточнения или замены.

Рассмотрим на простых примерах принципы создания математических моделей реальных систем.

Поиск по сайту: