|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Глава II. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ НЕКОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ
Консервативные системы являются идеализированными системами. Реальные системы неконсервативны, то есть их энергия меняется со временем. Рассмотрим системы, которые обладают потерями энергии. Уточним модели маятника и контура с учетом потерь. Пусть маятник совершает колебания в вязкой среде. Тогда на него будет действовать сила вязкого трения, которая по определению; , (2.1) где – линейная скорость, – постоянный коэффициент. Для простоты рассмотрения будем полагать, что сила трения приложена к центру тяжести маятника. Тогда и уравнение будет , (2.2) Вводя обозначение , получим, , (2.3) При малых углах отклонения . (2.4) Теперь получим уравнение контура с потерями. В электротехнических цепях потери моделируются активным сопротивлением. Опыт показывает, что существенными потерями являются потери в катушке. Следовательно, модель контура с потерями будет иметь вид, приведенный на рисунке 7. Уравнение для заряда получим на основании второго правила Кирхгофа (2.5)
Обозначим . Получим (2.6)
Легко видеть, что движение маятника при малых углах отклонения с учетом вязкого трения и колебания заряда в контуре с потерями описываются одним и тем же линейным уравнением . (2.7) Коэффициент называется коэффициент затухания, - собственной частотой. При получаем известное уравнение гармонического осциллятора. С формальной точки зрения учет потерь, а в общем случае, неконсервативность, проявляется в том, что в уравнении движения появилось слагаемое, пропорциональное . Более глубокое исследование показывает, что в неконсервативной системе «скорость» может входить в нечетной степени . Решим уравнение (2.7) и проанализируем, как движется во времени неконсервативная система. Уравнение линейное, с постоянными коэффициентами. Ищем решение методом Эйлера. Частное решение , (2.8) где и - константы. Подставляя в дифференциал уравнение (2.7), сокращая , получим характеристическое уравнение:
. (2.9) Корни этого уравнения: , . (2.10) Общее решение: . (2.11) Где и определяются из начальных условий. В зависимости от соотношений и различают два случая; 1) - случай малого затухания, что соответствует колебательной системе; 2) - случай большого затухания (система апериодическая). Рассмотрим подробнее первый случай. Движение в колебательной системе ( ) Обозначим . (2.12) Тогда корни характеристического уравнения; , , (2.13) комплексные и сопряженные. Общее решение будет . (2.14) Представим комплексные постоянные в полярной форме: , (2.15) , (2.16) используя формулу Эйлера (1.11) перейдем к действительным величинам: , (2.17) . (2.18) Соответствующие пары постоянных (), (), () определяются из начальных условий: , . (2.19) На рис.8 приведен пример графика движения в системе с малыми потерями. Движение является колебательным (знакопеременным), убывающим. При малом коэффициенте затухания близко к гармоническому колебанию, поэтому функцию часто называют «затухающей синусоидой». Колебание является непериодическим, так как ни при каких Т не выполнятся . (2.20) Однако вводят понятие условного периода , как интервал между одинаковыми переходами функции через 0. Очевидно, что нули совпадают с нулями . Частота является условной частотой. При малых затуханиях . Со временем колебания затухают вследствие потерь. Количественно затухание характеризуется любой из следующих констант: 1) - коэффициент затухания, 2) - постоянная времени, или время релаксации, 3) - логарифмический декремент затухания, 4) - добротность системы. Все эти константы взаимосвязаны и используются в конкретных случаях. Коэффициент затухания входит в стандартную форму уравнения; имеет размерность, обратную времени. Постоянная времени (время релаксации) . (2.21) Это интервал времени, в течении которого первоначальная амплитуда уменьшается в раз (Рис.9). Константы и являются размерными величинами, их значения зависят от выбора единицы измерения. Это не всегда удобно, поэтому вводят безразмерные величины: логарифмический декремент затухания и добротность . По определению логарифмическим декрементом затухания называется величина , (2.16) где - условный период. Подставляя , получим , (2.17) . (2.18) Чтобы пояснить физический смысл , лучше взять обратную величину . (2.19) Видно, что есть число условных периодов, соответствующих уменьшению амплитуды в раз. Еще один безразмерный параметр, характеризующий потери – добротность. Получим его, предварительно преобразовав уравнение системы; . (2.20) Введем так называемое собственное время системы . (2.21) Смысл его очевиден: эталоном времени служит период собственных колебаний исследуемой системы. Текущее время измеряется в периодах. Множитель означает, что время оценивается в радианах. Тогда производные связаны соотношениями , (2.22) . (2.23) Подставляя их в уравнения и разделив все слагаемые на , получим, что динамическое уравнение преобразуется к виду, который не зависит от диапазона частот: . (2.24) Единственная константа, которая обусловлена потерями в системе, это добротность . (2.25) Системе без потерь соответствует . Добротность связана с логарифмическим декрементом затухания. Получим формулу связи: . (2.26) Условная частота: (2.27) или с учетом определения добротности; . (2.28) Точная формула, связывающая и ; , (2.29) При больших добротностях с точностью до 1% справедливо простое соотношение . (2.30) В этом же приближении условная частота равна собственной: . Применение зависит от конкретной задачи. Перечислим преимущественное использование конкретных параметров. Коэффициент затухания используется в теоретических исследованиях, постоянную времени - в теоретических и экспериментальных исследованиях, когда нужна временная оценка затухания амплитуды; логарифмический декремент затухания измеряется экспериментально и используется чаще всего при исследовании свободных колебаний; добротность используют при изучении вынужденных колебаний, так как её легко определить по резонансной кривой. Анализ неконсервативной системы позволяет более строго решить вопрос о «жизненности» консервативной модели реальной системы. Очевидно, что любой эксперимент длится конечное время наблюдения . Если окажется, что время наблюдения много меньше «постоянной времени» системы , то экспериментатор не отметит изменения амплитуды колебаний и сделает вывод, что за время эксперимента энергия системы не изменилась, т.е. система консервативная. Таким образом, реальная система, в принципе неконсервативная, при конечном времени наблюдения, удовлетворяющим требованию , может рассматриваться как консервативная. А это в конечном счете упрощает теоретический анализ системы. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.011 сек.) |