АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Гармонический осциллятор при произвольном внешнем воздействии

Читайте также:
  1. Выбор сферы деятельности на внешнем рынке
  2. Вынужденная конвекция при внешнем обтекании тела.
  3. Вынужденная конвекция при внешнем обтекании тела.
  4. Вынужденные колебания при гармоническом внешнем воздействии. Резонанс колебаний
  5. Гармонический осциллятор
  6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ СТИЛЬ И.С.БАХА
  7. Гармонический язык Рахманинова
  8. Глава 1.СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР)
  9. Глава VIII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
  10. Доклад о внешнем и внутреннем положении Советской республики
  11. Затухающий гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор при произвольном внешнем воздействий описывается неоднородном уравнением;

, (8.54)

Найдём частное решение, пользуясь методом вариации постоянной Лагранжа. Ход рассуждений следующий. Если гармонический осциллятор без внешнего воздействия , то его колебания чисто гармонические и амплитуды постоянны

. (8.55)

Если на осциллятор действуют внешняя сила , то ищем ) в той же форме, но амплитуды и полагаем функциями времени (варьируем постоянные) и подбираем их так, чтобы

. (8.56)

удовлетворяло уравнению (8.56) тождественно. Вместо одной неизвестной имеем две: и . Чтобы связь и пары , была однозначной, необходимо, чтобы , были зависимыми. Как же выразить эту зависимость?

Найдём первую производную:

. (8.57)

Лагранж предложил приравнять два последних слагаемых к нулю

. (8.58)

и тем самым получил уравнение связи между и . Замечательно, что производная (8.55) при условии (8.56) имеет тот же вид, что и для свободных колебаний. Вторая производная;

. (8.59)

подставляя (8.56) и (8.59) в исходное уравнение (8.54), получим;

. (8.60)

Выражения (8.58) и (8.60) образуют систему из двух уравнение с двумя неизвестными;

. (8.61)

Рассматривая , как неизвестные, найдём их из (8.61);

, (8.62)

. (8.63)

Уравнения (8.62) и (8.63) с разделяющими переменными, которые легко интегрируются

, (8.64)

. (8.65)

Как показывают полученные соотношения, вынужденное в линейной системе при произвольном внешнем воздействии ищется в виде квазигармонического колебания с частотой .


Литература

 

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М., ГИФМЛ, 1959.

2. Бабаков И.М. Теория колебаний. М., ГИТТЛ, 1958.

3. Бойко Б.П. Теория колебаний: конспект лекций для студентов IV курса вечернего отделения. Казань. Изд-во Казанског у-та, 1979.

4. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику: учеб. пособие для студ. вузов/ Г.С. Горелик. М.; Физматлит, 2007

5. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний: Учеб. пособие для вузов/ В.Д. Горяченко. М.; Высш. школа, 2001

6. Ильин М.М. Теория колебаний: Учебник для вузов/ М. М. Ильин, К. С. Колесников, Ю. С. Саратов. М.; Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001

7. Ильин М.М. Теория колебаний: учебник для вузов/ М.М. Ильин, К.С. Колесников, Ю.С. Саратов; под общ. ред. К.С. Колесникова; Фед. целевая программа "Гос. поддержка интеграции выс. образ. и фундаментальной науки. М.; Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003

8. Каннингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем. М.-Л., ГЭИ, 1962.

9. Леденев, Александр Николаевич.Физика. В 5-ти кн.: учебное пособие для вузов/ А.Н. Леденев. -М.: Физматлит Кн. 4: Колебания и волны. Оптика, 2005

10. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М., Наука,1972.

11. Основы теории колебаний: учебное пособие/ В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин; под ред. В.В. Мигулина. М., Наука,1978.

12. Основы теории колебаний: учебное руководство/ В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин; под ред. В.В. Мигулина. М., Наука,1988.

13. Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний. М., Наука,1965.

14. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М., Наука,1964.


оглавление

ВВЕДЕНИЕ. 3

Математический маятник как модель физического маятника. 7

Идеальный контур как модель реального колебательного контура. 9

Глава 1.СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР) 14

Глава II. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ НЕКОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ. 19

Энергетические соотношения в системе с малым затуханием. 26

Глава III. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ.. 29

Особая точка типа центр. 35

Особая точка типа фокус. 37

Особая точка типа узел. 45

Самовозбуждение RC – генератора. 50

Особая точка типа седло. 52

Глава IV.СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ. 57

Глава V.СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С КУЛОНОВСКИМ ТРЕНИЕМ 64

Фазовый портрет системы с кулоновским трением. 69

Глава VI. Устойчивость равновесия системы.. 73

Устойчивость состояния равновесия линейной системы с одной степенью свободы 75

Устойчивость равновесия линейной системы с N степенями свободы.. 80

Исследование устойчивости состояния равновесия нелинейной системы по первому приближению (второй метод Ляпунова) 85

Глава VII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ) 95

Глава VIII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ.. 98

Колебания в линейной консервативной системе при включении источника гармонических колебаний. 103

Гармонический осциллятор при произвольном внешнем воздействии. 108

Литература. 111

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)