|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Глава 1.СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР)
Уравнение такой системы имеет вид:
(примерами могут служить математический маятник при малых углах отклонения и идеальный колебательный контур). Решим уравнение (1.1) подробно, пользуясь классическим методом Эйлера. Ищем частное решение в виде:
где
Разделим обе части уравнения на
Корни этого уравнения
где Как известно, общее решение есть сумма частных, т.е.
Мы полагаем, что
Две постоянные
Решение в форме (1.8) преимущественно используется в теории; для прикладных задач оно не удобно, так как
Подставим их в (1.8) и воспользуемся формулой Эйлера
тогда
где
тогда
Если начало отсчёта во времени совпадает с Разложим косинус в (1.13) на косинусоидальную и синусоидальную составляющие. Получим ещё одно представление:
где
Если
Все три формы записи (1.8, 1.12, 1.15) эквивалентны. Использование конкретной формы определяется удобством рассмотрения конкретной задачи. Анализируя решение, можно сказать, что собственные колебания гармонического осциллятора есть гармоническое колебание, частота которого зависит от параметров системы и не зависит от начальных условий; от начальных условий зависят амплитуда и начальная фаза. Независимость от начальных условий частоты (периода) собственных колебаний называется изохорностью. Рассмотрим энергию гармонического осциллятора на примере колебательного контура. Уравнение движения в контуре
Умножим слагаемые этого уравнения на
После преобразования его можно представить в виде:
Так как
где Полная энергия, запасенная контуром:
Из (1.7) получим Что же происходит с магнитной и электрической энергией в отдельности? Закон изменения заряда на конденсаторе нам известен – (1.12) и
тогда
Найдем закон изменения энергии в конденсаторе. Ток в емкостной ветви можно найти используя следующее выражение
Подставив (1.28) в формулу для нахождения электрической энергии получим закон изменения электрической энергии на конденсаторе
С учетом
Таким образом, энергия в каждом элементе контура колеблется с удвоенной частотой. График этих колебаний приведен на рис. 6.
Таким образом, колебание в идеальном контуре – это переход электрической энергии в магнитную и обратно, периодически повторяющийся во времени. Этот вывод справедлив для любых электромагнитных колебательных систем, в частности для объемных резонаторов, где магнитная и электрическая энергия пространственно не разделены. Обобщая этот результат, можно утверждать, что колебательный процесс в линейной консервативной системе – это периодический переход энергии одного типа в другой. Так, при колебаниях маятника кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.) |