|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Колебания в линейной консервативной системе при включении источника гармонических колебанийНа примере этой задачи рассмотрим частный, но важный для практики, случай не стационарного внешнего воздействия, а также уточним вид вынужденных колебаний при резонансном воздействий. Динамическое уравнение линейной консервативной системы (гармонического осциллятора) при включений источника, при
Пусть в момент включения
Вследствие нестационарности внешнего воздействия колебания в системе необходимо описывать общим решением (7.6):
Каждое из слагаемых уже известно: (2.7), (8.29). Тогда общее решение (8.32) имеет будет иметь вид;
Постоянные
Откуда
и после подстановки (8.38) в (8.35) принимает вид;
Преобразуя разность косинусов, получим другую форму записи;
Соответствующие графики приведены на рисунке 47.
Видно, что колебания представляют собой биения между собственными и вынужденными колебаниями. Период биений
Собственные колебания появились вследствие включения источника. Если бы система обладала затуханием, то через некоторое время (приблизительно время релаксации Особый интерес представляют колебания в осцилляторе при включении гармонического источника с резонансной частотой. Что бы получить решение при
и учитывая, что при выполнении условия
Справедливо следующее выражение
Подставляя (8.44) в (8.42), получим
на графике это колебание выглядит так, как показано на рисунке 48. Огибающая амплитуд растет по линейному закону. Важно отметить, что амплитуда вынужденных колебаний бесконечна, через бесконечное время. Отсюда ясно, почему в (8.30) амплитуда бесконечна при При конечном времени наблюдения (или действия внешнего источника) амплитуда всегда будет конечной. В частности, при действии прямоугольного радиоимпульса на высокодобротный колебательный контур можно наблюдать процесс, соответствующий линейному росту амплитуды. Аналогичный результат получим при включении синусоидальной внешней силы:
Пусть в момент включения
тогда после преобразований рассмотренных выше получим
В общем случае, когда на гармонический осциллятор действует резонансная внешняя сила, равная сумме синусоидальных и косинусоидальных составляющих колебание можно записать в форме собственных колебаний с переменными амплитудами
где
Видно, что косинусоидальное колебание в системе раскачивается синусоидальной внешней силой, а синусоидальное колебание раскачивается косинусоидальной внешней силой. В общем случае в выражение (8.50,8.51) входят постоянные добавки, которые соответствуют свободным колебаниям системы. При достаточно большом времени ими можно пренебречь. Чтобы исключить влияние свободных колебании и внешней силой запишем в дифференциальной форме, которая следует из (8.50,8.51);
Этим результатом мы воспользуемся в будущем при обосновании энергетического метода, когда будем анализировать нелинейные системы. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.) |