|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Колебания в линейной консервативной системе при включении источника гармонических колебанийНа примере этой задачи рассмотрим частный, но важный для практики, случай не стационарного внешнего воздействия, а также уточним вид вынужденных колебаний при резонансном воздействий. Динамическое уравнение линейной консервативной системы (гармонического осциллятора) при включений источника, при , имеет вид:
. (8.32) Пусть в момент включения система находилась в равновесии: . (8.33) Вследствие нестационарности внешнего воздействия колебания в системе необходимо описывать общим решением (7.6): . (8.34) Каждое из слагаемых уже известно: (2.7), (8.29). Тогда общее решение (8.32) имеет будет иметь вид; . (8.35) Постоянные и определим из начальных условий (8.33); , (8.36) . (8.37) Откуда , (8.38) и после подстановки (8.38) в (8.35) принимает вид; . (8.39) Преобразуя разность косинусов, получим другую форму записи; . (8.40) Соответствующие графики приведены на рисунке 47.
Видно, что колебания представляют собой биения между собственными и вынужденными колебаниями. Период биений . (8.41) Собственные колебания появились вследствие включения источника. Если бы система обладала затуханием, то через некоторое время (приблизительно время релаксации ) свободные колебания затухли бы и остались только вынужденные. Если , биения после включения можно наблюдать экспериментально. Особый интерес представляют колебания в осцилляторе при включении гармонического источника с резонансной частотой. Что бы получить решение при , необходимо в (8.40) перейти к пределу. Перепишем (8.40) в виде: . (8.42) и учитывая, что при выполнении условия . (8.43) Справедливо следующее выражение . (8.44) Подставляя (8.44) в (8.42), получим . (8.45) на графике это колебание выглядит так, как показано на рисунке 48. Огибающая амплитуд растет по линейному закону. Важно отметить, что амплитуда вынужденных колебаний бесконечна, через бесконечное время. Отсюда ясно, почему в (8.30) амплитуда бесконечна при . Потому что в методе комплексных амплитуд действие источника предполагается бесконечным во времени. При конечном времени наблюдения (или действия внешнего источника) амплитуда всегда будет конечной. В частности, при действии прямоугольного радиоимпульса на высокодобротный колебательный контур можно наблюдать процесс, соответствующий линейному росту амплитуды. Аналогичный результат получим при включении синусоидальной внешней силы: . (8.46) Пусть в момент включения система находилась в равновесии; , (8.47) тогда после преобразований рассмотренных выше получим . (8.48) В общем случае, когда на гармонический осциллятор действует резонансная внешняя сила, равная сумме синусоидальных и косинусоидальных составляющих колебание можно записать в форме собственных колебаний с переменными амплитудами , (8.49) где , (8.50) . (8.51) Видно, что косинусоидальное колебание в системе раскачивается синусоидальной внешней силой, а синусоидальное колебание раскачивается косинусоидальной внешней силой. В общем случае в выражение (8.50,8.51) входят постоянные добавки, которые соответствуют свободным колебаниям системы. При достаточно большом времени ими можно пренебречь. Чтобы исключить влияние свободных колебании и внешней силой запишем в дифференциальной форме, которая следует из (8.50,8.51); , (8.52) . (8.53) Этим результатом мы воспользуемся в будущем при обосновании энергетического метода, когда будем анализировать нелинейные системы. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |