Интенсивность вихря

Понятие интенсивности вихря достаточно абстрактно и вводится чисто математически. Напомним, что потоком векторного поля называют интеграл вида

.

Поскольку вихрь скорости (ротор) есть вектор, то вместо можно подставить , что и приводит к понятию интенсивности вихря, т. е. интенсивность вихря – это поток вектора вихря скорости:

Эту формулу, используя очевидное соотношение , можно перепи-сать как

.

Имея в виду, что (рис. 2.1), можем записать

Используя формулу Гаусса–Остроградского и переходя от интеграла по поверхности к интегралу по объему, получим

.

Заметим, что полученное подынтегральное выражение по структуре напоминает обычное уравнение неразрывности для стационарного течения жидкости с постоянной плотностью. Рас-кроем это выражение, имея в виду, что проекции вектора вихря (по правилам векторного произведения) представляются как

;

;

.

Получим

.

Следовательно, можно записать

(2.1)

Применим (2.1) к вихревому шнуру (рис. 2.2). На боковой поверхности , так как вектор направлен по касательной к поверхности. Поэтому можем записать

;

.

Если допустить, что в пределах сечения , то

Либо в общем случае

, (2.2)

т. е. это своеобразное «уравнение неразрывности» в интегральной форме для завихренности. Полученный результат носит название теоремы Гельмгольца о вихрях (второй теоремы Гельмгольца), которую можно сформулировать следующим образом: интенсивность вихревого шнура на всей его протяженности остается постоянной. Из выражения (2.2) следует и другой весьма важный вывод. Поскольку произведение остается неизменным, то уменьшение площади сечения шнура должно приводить к увеличению угловой скорости вращения частиц. При это условие означает, что , что физически невозможно. Следовательно, вихрь не может зарождать-ся либо оканчиваться в толще жидкости. Окончательно развившись, он должен замкнуться либо на твердую поверхность, либо сам на себя, т. е. образовать вихревое кольцо. В этом свойстве также существует аналогия с поведением трубки тока.

Понятие об интенсивности вихря является весьма важным, но, к сожалению, непосредственное определение этой величины экспериментальным путем связано с непреодолимыми труд-ностями. Кроме того, если пытаться распространить это понятие на вихри конечных размеров, то по аналогии со средней скоростью пришлось бы вводить понятие о средней угловой скорости, что связано с определенными трудностями чисто математического характера. Поэтому гидромеханики избрали другой путь, заменив это понятие другим, более удобным для целей практики.

Поиск по сайту: