Потенциал скорости

Как следует из теоремы Стокса, числовые значения интенсивности вихря и циркуляции скорости по охватывающему его контуру, равны, т. е. :

С другой стороны, для потенциального потока, по определению , т. е. в потенциальном поле циркуляция по зам-кнутому контуру равна нулю.

Запишем выражения для проекций угловых скоростей:

;

;

.

Из вышесказанного следует, что для безвихревого (потенциального) движения . Следовательно, в этом случае

; ; . (3.1)

Эти соотношения позволяют существенно упростить вычисления компонент скорости , и .

Рассмотрим выражение . Его построение аналогично выражению для элементарной работы, известному из механики твердого тела. Рассмотрим, в каком случае оно является полным дифференциалом. Напомним, что если выра-жение для работы является полным дифференциалом, то силовое поле называется консервативным, или имеющим потенциал. В свое время известный ученый Клеро показал, что выражение этого типа является полным дифференциалом в случае, если обеспечивается равенство накрест взятых производ-ных. Соотношения (3.1) показывают, что взятые накрест производные для рассматриваемого выражения удовлетворяют этому требованию. Таким образом, при потенциальном движении жидкости записанное выше выражение является полным дифференциалом некоторой функции, т. е.

. (3.2)

С другой стороны, по общему правилу полный дифференциал может быть представлен как

. (3.3)

Сопоставляя (3.2) и (3.3), получаем

; ; . (3.4)

По предложению Гельмгольца функцию называют потен-циалом скорости.

Таким образом, всякому движению жидкости, происходящему без вращения частиц, соответствует свой потенциал ско-рости. Справедливо и обратное утверждение: если существует потенциал скорости, то движение происходит без вращения частиц, т. е. является безвихревым.

Соотношения (3.4) можно получить и другим путем. Поскольку разные подходы к одному и тому же вопросу способствуют его углубленному пониманию, то эти же соотношения получим, используя другую методику.

Как уже отмечалось, условием потенциальности течения яв-ляется . В векторной алгебре доказывается, что операция ротора над градиентом какой-либо скалярной функции тождественно равна нулю, т. е.

Сопоставляя эти соотношения, можем записать

(3.5)

что означает, что вектор скорости можно рассматривать как градиент некоторой скалярной функции. Раскроем значения и . Имеем

;

.

Откуда, учитывая (3.5), получаем

; ; ,

т. е. вновь приходим к соотношениям вида (3.4).

При этом открытым остается вопрос о целесообразности введения понятия потенциала скорости. Однако следует иметь в виду, что одной из важнейших практических задач гидромеханики является определение сил, действующих на тело, обтекаемое потоком жидкости или газа. Решение этой задачи непосредственно связано с необходимостью расчета поля скоростей, т. е. определением проекций скоростей (, , ) в каждой его точке. Из выражений (3.4) следует, что все три компоненты скорости могут быть вычислены, если известна лишь одна величина – потенциал скорости. Таким образом, знание потенциала скорости существенно упрощает расчет скоростного поля. Однако при этом возникает следующая проблема: как найти потенциал скорости течения.

Поиск по сайту: