Функция тока плоского течения

В практических задачах гидромеханики двумерных потоков понятие о функции тока находит широкое применение. Рассмотрим двумерный поток и при этом ограничимся рассмотрением течения несжимаемой жидкости.

Как было показано, дифференциальное уравнение линии тока имеет вид

либо

. (3.9)

Запишем уравнение неразрывности для этого случая:

. (3.10)

Аналогично тому, как это делалось при рассмотрении определения потенциала скорости, поставим вопрос об условиях, необходимых и достаточных для того, чтобы выражение (3.9) являлось полным дифференциалом некоторой скалярной функ-ции. Применим к (3.9) условия Клеро (равенство взятых накрест производных):

и .

Однако это есть не что иное, как уравнение неразрывности (3.10) для плоского потока, которое удовлетворяется всегда, если только движение существует. Следовательно, можно записать:

, (3.11)

где получила название функции тока. Учитывая, что является полным дифференциалом, можно записать:

. (3.12)

Сопоставляя (3.11) и (3.12), получаем

; , (3.13)

из чего следует, что если функция тока течения известна, то можно определить компоненты скорости в любой точке пространства. Сопоставляя (3.9) и (3.11), приходим к выводу, что если частица движется вдоль линии тока, то функция тока остается постоянной (при и (3.11) превращается в (3.9)). Встает вопрос: является ли функция тока гармонической функцией, т. е. удовлетворяет ли она уравнению Лапласа?

Для плоского потенциального течения , но , т. е. . Из (3.13) и , следовательно,

,

откуда

.

Таким образом, функция тока, как и потенциал скорости, является гармонической функцией. При этом если потенциал скорости существует только в потенциальном потоке, то функция тока этим условием не ограничена. Это объясняется тем, что уравнение неразрывности (т. е. условие сохранения массы), которое используется для введения функции тока, справедливо как для вихревого, так и для безвихревого движений.

Поиск по сайту: